Exercicis de distàncies i angles

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (2, 1, 3)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(2)^2 + (1)^2 + (3)^2} = \sqrt{14}$

$\approx 3.7417$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(-3)(-2) + (1)(0) + (4)(1) + (-2)| = |8| = 8$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(-3)^2 + (1)^2 + (4)^2} = \sqrt{26} \approx 5.0990$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{8}{\sqrt{26}} \approx 1.5689$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(3)(1) + (-1)(4) + (-3)(-2) = 5$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{19} \approx 4.3589 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{21} \approx 4.5826$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx 0.2503 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(0.2503) \approx 75.50^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt positiu, l'angle és agut (menys de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (-3, 1, -4)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(-3)^2 + (1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{26}$

$\approx 5.0990$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(3)(3) + (3)(3) + (2)(2) + (-5)| = |17| = 17$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(3)^2 + (3)^2 + (2)^2} = \sqrt{22} \approx 4.6904$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{17}{\sqrt{22}} \approx 3.6244$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(2)(-3) + (-1)(1) + (-2)(1) = -9$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{9} = 3 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{11} \approx 3.3166$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx -0.9045 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(-0.9045) \approx 154.76^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt negatiu, l'angle és obtús (més gran de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (-5, 0, -4)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(-5)^2 + (0)^2 + (-4)^2} = \sqrt{41}$

$\approx 6.4031$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(4)(0) + (2)(-1) + (-3)(3) + (6)| = |-5| = 5$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(4)^2 + (2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{29} \approx 5.3852$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{5}{\sqrt{29}} \approx 0.9285$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(-3)(4) + (-2)(1) + (2)(-1) = -16$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{17} \approx 4.1231 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{18} \approx 4.2426$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx -0.9147 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(-0.9147) \approx 156.16^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt negatiu, l'angle és obtús (més gran de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (4, 3, -4)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(4)^2 + (3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{41}$

$\approx 6.4031$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.