Exercicis de distàncies i angles

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(4)(1) + (1)(2) + (-3)(-1) + (-5)| = |4| = 4$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(4)^2 + (1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{26} \approx 5.0990$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{4}{\sqrt{26}} \approx 0.7845$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(4)(-2) + (-1)(-2) + (-1)(2) = -8$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{18} \approx 4.2426 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{12} \approx 3.4641$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx -0.5443 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(-0.5443) \approx 122.98^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt negatiu, l'angle és obtús (més gran de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (3, -3, 5)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(3)^2 + (-3)^2 + (5)^2} = \sqrt{43}$

$\approx 6.5574$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(2)(-2) + (2)(-2) + (-3)(1) + (-2)| = |-13| = 13$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(2)^2 + (2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{17} \approx 4.1231$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{13}{\sqrt{17}} \approx 3.1530$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(4)(-3) + (2)(-2) + (-2)(4) = -24$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{24} \approx 4.8990 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{29} \approx 5.3852$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx -0.9097 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(-0.9097) \approx 155.47^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt negatiu, l'angle és obtús (més gran de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (-2, 3, 0)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(-2)^2 + (3)^2 + (0)^2} = \sqrt{13}$

$\approx 3.6056$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(-1)(-1) + (4)(-2) + (3)(3) + (-2)| = |0| = 0$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(-1)^2 + (4)^2 + (3)^2} = \sqrt{26} \approx 5.0990$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{0}{\sqrt{26}} = 0$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(-2)(-1) + (3)(-3) + (-2)(3) = -13$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{17} \approx 4.1231 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{19} \approx 4.3589$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx -0.7233 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(-0.7233) \approx 136.33^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt negatiu, l'angle és obtús (més gran de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (1, 0, -4)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(1)^2 + (0)^2 + (-4)^2} = \sqrt{17}$

$\approx 4.1231$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(1)(1) + (2)(1) + (-2)(1) + (3)| = |4| = 4$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(1)^2 + (2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{4}{\sqrt{9}} \approx 1.3333$