Exercicis de distàncies i angles

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(-1)(-3) + (4)(2) + (-1)(-3) = 14$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{18} \approx 4.2426 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{22} \approx 4.6904$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx 0.7035 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(0.7035) \approx 45.29^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt positiu, l'angle és agut (menys de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (0, -2, 0)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(0)^2 + (-2)^2 + (0)^2} = \sqrt{4}$

$= 2$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(-1)(3) + (-2)(1) + (2)(3) + (6)| = |7| = 7$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{9} = 3$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{7}{\sqrt{9}} \approx 2.3333$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(-2)(2) + (-2)(1) + (3)(-2) = -12$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{17} \approx 4.1231 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{9} = 3$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx -0.9701 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(-0.9701) \approx 165.96^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt negatiu, l'angle és obtús (més gran de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (2, 4, -3)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(2)^2 + (4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{29}$

$\approx 5.3852$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(-3)(-1) + (1)(3) + (-2)(1) + (-2)| = |2| = 2$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(-3)^2 + (1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{14} \approx 3.7417$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{2}{\sqrt{14}} \approx 0.5345$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(-2)(1) + (-1)(1) + (-2)(3) = -9$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{9} = 3 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{11} \approx 3.3166$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx -0.9045 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(-0.9045) \approx 154.76^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt negatiu, l'angle és obtús (més gran de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (-4, -3, -5)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{50}$

$\approx 7.0711$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(4)(-1) + (4)(2) + (1)(1) + (-5)| = |0| = 0$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(4)^2 + (4)^2 + (1)^2} = \sqrt{33} \approx 5.7446$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{0}{\sqrt{33}} = 0$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(-3)(3) + (3)(-1) + (-3)(1) = -15$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{27} \approx 5.1962 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{11} \approx 3.3166$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx -0.8704 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(-0.8704) \approx 150.50^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt negatiu, l'angle és obtús (més gran de 90°).