Exercicis de distàncies i angles

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(3)(1) + (2)(0) + (3)(1) + (-2)| = |4| = 4$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(3)^2 + (2)^2 + (3)^2} = \sqrt{22} \approx 4.6904$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{4}{\sqrt{22}} \approx 0.8528$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(-2)(-2) + (3)(2) + (-1)(-2) = 12$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{14} \approx 3.7417 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{12} \approx 3.4641$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx 0.9258 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(0.9258) \approx 22.21^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt positiu, l'angle és agut (menys de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (3, 0, -2)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(3)^2 + (0)^2 + (-2)^2} = \sqrt{13}$

$\approx 3.6056$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(3)(2) + (-2)(-1) + (3)(2) + (3)| = |17| = 17$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(3)^2 + (-2)^2 + (3)^2} = \sqrt{22} \approx 4.6904$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{17}{\sqrt{22}} \approx 3.6244$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(3)(3) + (2)(-1) + (-3)(2) = 1$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{22} \approx 4.6904 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{14} \approx 3.7417$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx 0.0570 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(0.0570) \approx 86.73^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt positiu, l'angle és agut (menys de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (-2, 3, 2)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(-2)^2 + (3)^2 + (2)^2} = \sqrt{17}$

$\approx 4.1231$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(-3)(1) + (-1)(1) + (3)(-2) + (1)| = |-9| = 9$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + (3)^2} = \sqrt{19} \approx 4.3589$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{9}{\sqrt{19}} \approx 2.0647$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(4)(4) + (3)(4) + (3)(2) = 34$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{34} \approx 5.8310 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{36} = 6$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx 0.9718 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(0.9718) \approx 13.63^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt positiu, l'angle és agut (menys de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (-2, -4, -3)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{29}$

$\approx 5.3852$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(3)(1) + (-3)(1) + (2)(-1) + (6)| = |4| = 4$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(3)^2 + (-3)^2 + (2)^2} = \sqrt{22} \approx 4.6904$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{4}{\sqrt{22}} \approx 0.8528$