Exercicis de distàncies i angles

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(3)(-3) + (-3)(-2) + (-2)(1) = -5$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{22} \approx 4.6904 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{14} \approx 3.7417$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx -0.2849 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(-0.2849) \approx 106.55^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt negatiu, l'angle és obtús (més gran de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (5, 3, -1)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(5)^2 + (3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{35}$

$\approx 5.9161$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(3)(2) + (3)(0) + (-1)(1) + (3)| = |8| = 8$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(3)^2 + (3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{19} \approx 4.3589$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{8}{\sqrt{19}} \approx 1.8353$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(-1)(4) + (2)(-3) + (-2)(2) = -14$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{9} = 3 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{29} \approx 5.3852$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx -0.8666 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(-0.8666) \approx 150.06^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt negatiu, l'angle és obtús (més gran de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (1, -2, 4)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2 + (4)^2} = \sqrt{21}$

$\approx 4.5826$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(4)(2) + (-2)(1) + (4)(3) + (-5)| = |13| = 13$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(4)^2 + (-2)^2 + (4)^2} = \sqrt{36} = 6$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{13}{\sqrt{36}} \approx 2.1667$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(1)(3) + (2)(1) + (2)(4) = 13$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{9} = 3 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{26} \approx 5.0990$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx 0.8498 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(0.8498) \approx 31.81^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt positiu, l'angle és agut (menys de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (1, 1, 1)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(1)^2 + (1)^2 + (1)^2} = \sqrt{3}$

$\approx 1.7321$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(-2)(3) + (1)(-2) + (1)(-1) + (1)| = |-8| = 8$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(-2)^2 + (1)^2 + (1)^2} = \sqrt{6} \approx 2.4495$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{8}{\sqrt{6}} \approx 3.2660$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(2)(4) + (-3)(1) + (4)(4) = 21$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{29} \approx 5.3852 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{33} \approx 5.7446$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx 0.6788 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(0.6788) \approx 47.25^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt positiu, l'angle és agut (menys de 90°).