Exercicis de distàncies i angles

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (0, -2, 3)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(0)^2 + (-2)^2 + (3)^2} = \sqrt{13}$

$\approx 3.6056$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(1)(2) + (4)(-1) + (3)(1) + (-2)| = |-1| = 1$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(1)^2 + (4)^2 + (3)^2} = \sqrt{26} \approx 5.0990$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{1}{\sqrt{26}} \approx 0.1961$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(2)(1) + (4)(1) + (-2)(1) = 4$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{24} \approx 4.8990 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{3} \approx 1.7321$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx 0.4714 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(0.4714) \approx 61.87^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt positiu, l'angle és agut (menys de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (-2, 0, 0)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(-2)^2 + (0)^2 + (0)^2} = \sqrt{4}$

$= 2$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(1)(2) + (-1)(3) + (2)(1) + (3)| = |4| = 4$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (2)^2} = \sqrt{6} \approx 2.4495$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{4}{\sqrt{6}} \approx 1.6330$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(1)(2) + (-3)(-1) + (-3)(1) = 2$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{19} \approx 4.3589 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{6} \approx 2.4495$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx 0.1873 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(0.1873) \approx 79.20^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt positiu, l'angle és agut (menys de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (3, -2, 0)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(3)^2 + (-2)^2 + (0)^2} = \sqrt{13}$

$\approx 3.6056$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(-1)(-2) + (2)(-1) + (1)(2) + (6)| = |8| = 8$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(-1)^2 + (2)^2 + (1)^2} = \sqrt{6} \approx 2.4495$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{8}{\sqrt{6}} \approx 3.2660$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(-1)(3) + (-3)(3) + (2)(-3) = -18$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{14} \approx 3.7417 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{27} \approx 5.1962$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx -0.9258 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(-0.9258) \approx 157.79^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt negatiu, l'angle és obtús (més gran de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (1, 0, -4)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(1)^2 + (0)^2 + (-4)^2} = \sqrt{17}$

$\approx 4.1231$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.