Exercicis de distàncies i angles

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(2)(-1) + (-2)(1) + (3)(3) + (6)| = |11| = 11$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(2)^2 + (-2)^2 + (3)^2} = \sqrt{17} \approx 4.1231$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{11}{\sqrt{17}} \approx 2.6679$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(1)(-3) + (3)(-1) + (-1)(-3) = -3$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{11} \approx 3.3166 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{19} \approx 4.3589$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx -0.2075 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(-0.2075) \approx 101.98^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt negatiu, l'angle és obtús (més gran de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (-2, 5, -3)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(-2)^2 + (5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{38}$

$\approx 6.1644$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(-2)(-1) + (1)(3) + (3)(0) + (1)| = |6| = 6$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(-2)^2 + (1)^2 + (3)^2} = \sqrt{14} \approx 3.7417$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{6}{\sqrt{14}} \approx 1.6036$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(3)(-3) + (1)(3) + (2)(2) = -2$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{14} \approx 3.7417 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{22} \approx 4.6904$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx -0.1140 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(-0.1140) \approx 96.54^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt negatiu, l'angle és obtús (més gran de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (0, 0, -2)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4}$

$= 2$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(-2)(-2) + (3)(1) + (4)(0) + (1)| = |8| = 8$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(-2)^2 + (3)^2 + (4)^2} = \sqrt{29} \approx 5.3852$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{8}{\sqrt{29}} \approx 1.4856$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(4)(1) + (-3)(4) + (1)(1) = -7$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{26} \approx 5.0990 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{18} \approx 4.2426$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx -0.3236 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(-0.3236) \approx 108.88^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt negatiu, l'angle és obtús (més gran de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (-3, 3, 4)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(-3)^2 + (3)^2 + (4)^2} = \sqrt{34}$

$\approx 5.8310$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(2)(2) + (-3)(3) + (3)(2) + (-5)| = |-4| = 4$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(2)^2 + (-3)^2 + (3)^2} = \sqrt{22} \approx 4.6904$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{4}{\sqrt{22}} \approx 0.8528$