Exercicis de distàncies i angles

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (2, -1, 4)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (4)^2} = \sqrt{21}$

$\approx 4.5826$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(3)(-1) + (-3)(-1) + (-3)(0) + (-2)| = |-2| = 2$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(3)^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{27} \approx 5.1962$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{2}{\sqrt{27}} \approx 0.3849$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(-2)(2) + (1)(4) + (2)(2) = 4$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{9} = 3 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{24} \approx 4.8990$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx 0.2722 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(0.2722) \approx 74.21^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt positiu, l'angle és agut (menys de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (-1, 0, 2)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(-1)^2 + (0)^2 + (2)^2} = \sqrt{5}$

$\approx 2.2361$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(3)(0) + (3)(-2) + (-2)(-1) + (6)| = |2| = 2$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(3)^2 + (3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{22} \approx 4.6904$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{2}{\sqrt{22}} \approx 0.4264$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(2)(-1) + (-2)(-2) + (2)(-1) = 0$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{12} \approx 3.4641 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{6} \approx 2.4495$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha = 0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(0) = 90^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt positiu, l'angle és agut (menys de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (-2, 0, 1)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(-2)^2 + (0)^2 + (1)^2} = \sqrt{5}$

$\approx 2.2361$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(-1)(3) + (4)(0) + (-2)(3) + (1)| = |-8| = 8$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(-1)^2 + (4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{21} \approx 4.5826$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{8}{\sqrt{21}} \approx 1.7457$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(1)(2) + (-3)(4) + (-1)(-1) = -9$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{11} \approx 3.3166 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{21} \approx 4.5826$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx -0.5922 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(-0.5922) \approx 126.31^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt negatiu, l'angle és obtús (més gran de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (-1, 1, 0)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (0)^2} = \sqrt{2}$

$\approx 1.4142$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.