Exercicis de distàncies i angles

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (2, 3, 0)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(2)^2 + (3)^2 + (0)^2} = \sqrt{13}$

$\approx 3.6056$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(2)(1) + (-3)(2) + (1)(-2) + (6)| = |0| = 0$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(2)^2 + (-3)^2 + (1)^2} = \sqrt{14} \approx 3.7417$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{0}{\sqrt{14}} = 0$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(1)(2) + (-1)(3) + (1)(1) = 0$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{3} \approx 1.7321 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{14} \approx 3.7417$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha = 0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(0) = 90^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt positiu, l'angle és agut (menys de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (0, 0, 2)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (2)^2} = \sqrt{4}$

$= 2$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(2)(1) + (-1)(2) + (-1)(3) + (1)| = |-2| = 2$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{6} \approx 2.4495$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{2}{\sqrt{6}} \approx 0.8165$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(-1)(4) + (-3)(-3) + (-3)(-2) = 11$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{19} \approx 4.3589 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{29} \approx 5.3852$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx 0.4686 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(0.4686) \approx 62.06^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt positiu, l'angle és agut (menys de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (1, 2, 1)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(1)^2 + (2)^2 + (1)^2} = \sqrt{6}$

$\approx 2.4495$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(1)(1) + (-1)(3) + (3)(0) + (-2)| = |-4| = 4$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (3)^2} = \sqrt{11} \approx 3.3166$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{4}{\sqrt{11}} \approx 1.2060$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(-1)(-1) + (3)(-2) + (3)(3) = 4$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{19} \approx 4.3589 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{14} \approx 3.7417$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx 0.2453 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(0.2453) \approx 75.80^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt positiu, l'angle és agut (menys de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (2, 0, 1)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(2)^2 + (0)^2 + (1)^2} = \sqrt{5}$

$\approx 2.2361$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.