Exercicis de distàncies i angles

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(2)(-3) + (1)(1) + (4)(2) = 3$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{21} \approx 4.5826 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{14} \approx 3.7417$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx 0.1750 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(0.1750) \approx 79.92^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt positiu, l'angle és agut (menys de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (0, -4, -2)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(0)^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{20}$

$\approx 4.4721$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(2)(1) + (-2)(-2) + (1)(3) + (3)| = |12| = 12$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(2)^2 + (-2)^2 + (1)^2} = \sqrt{9} = 3$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{12}{\sqrt{9}} = 4$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(4)(-1) + (-2)(-3) + (1)(4) = 6$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{21} \approx 4.5826 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{26} \approx 5.0990$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx 0.2568 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(0.2568) \approx 75.12^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt positiu, l'angle és agut (menys de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (-4, -1, 3)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 + (3)^2} = \sqrt{26}$

$\approx 5.0990$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(-2)(2) + (2)(3) + (4)(-1) + (6)| = |4| = 4$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(-2)^2 + (2)^2 + (4)^2} = \sqrt{24} \approx 4.8990$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{4}{\sqrt{24}} \approx 0.8165$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(-2)(-1) + (1)(2) + (-1)(2) = 2$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{6} \approx 2.4495 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{9} = 3$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx 0.2722 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(0.2722) \approx 74.21^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt positiu, l'angle és agut (menys de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (1, -3, 4)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(1)^2 + (-3)^2 + (4)^2} = \sqrt{26}$

$\approx 5.0990$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(1)(-1) + (2)(1) + (1)(-2) + (-2)| = |-3| = 3$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(1)^2 + (2)^2 + (1)^2} = \sqrt{6} \approx 2.4495$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{3}{\sqrt{6}} \approx 1.2247$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(-3)(2) + (-2)(2) + (-1)(-2) = -8$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{14} \approx 3.7417 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{12} \approx 3.4641$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx -0.6172 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(-0.6172) \approx 128.11^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt negatiu, l'angle és obtús (més gran de 90°).