Exercicis de distàncies i angles

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(4)(2) + (1)(-2) + (2)(4) = 14$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{21} \approx 4.5826 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{24} \approx 4.8990$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx 0.6236 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(0.6236) \approx 51.42^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt positiu, l'angle és agut (menys de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (-5, -3, 0)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2 + (0)^2} = \sqrt{34}$

$\approx 5.8310$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(-2)(1) + (-1)(1) + (4)(3) + (6)| = |15| = 15$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (4)^2} = \sqrt{21} \approx 4.5826$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{15}{\sqrt{21}} \approx 3.2733$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(3)(-1) + (-3)(3) + (1)(4) = -8$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{19} \approx 4.3589 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{26} \approx 5.0990$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx -0.3599 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(-0.3599) \approx 111.10^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt negatiu, l'angle és obtús (més gran de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (-1, 1, -2)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$

$\approx 2.4495$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(2)(1) + (-2)(2) + (-1)(0) + (3)| = |1| = 1$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{1}{\sqrt{9}} \approx 0.3333$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(4)(-2) + (3)(4) + (1)(2) = 6$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{26} \approx 5.0990 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{24} \approx 4.8990$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx 0.2402 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(0.2402) \approx 76.10^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt positiu, l'angle és agut (menys de 90°).

La distància entre dos punts és la llargada del vector que els uneix, o sigui Pitàgores en tres dimensions.

Pas 1 — el vector $\overrightarrow{AB}$, restant coordenades:

$\overrightarrow{AB} = (1, 0, 0)$

Pas 2 — el seu mòdul:

$d(A,B) = \sqrt{(1)^2 + (0)^2 + (0)^2} = \sqrt{1}$

$= 1$

Com que hi ha quadrats, l'ordre en què restis no importa: la distància surt igual.

Per a la distància d'un punt a un pla hi ha una fórmula directa, i cau a l'examen molt sovint:

$d(P,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

A dalt hi va el punt substituït a l'equació, en valor absolut (una distància mai no és negativa).

$|(1)(0) + (-1)(-1) + (4)(-1) + (6)| = |3| = 3$

A baix, el mòdul del vector normal:

$\sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (4)^2} = \sqrt{18} \approx 4.2426$

Dividint:

$d(P,\pi) = \frac{3}{\sqrt{18}} \approx 0.7071$

La fórmula de l'angle entre dos vectors surt de la definició del producte escalar:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Producte escalar:

$(1)(4) + (3)(2) + (-2)(3) = 4$

Els dos mòduls:

$|\vec{u}| = \sqrt{14} \approx 3.7417 \qquad |\vec{v}| = \sqrt{29} \approx 5.3852$

El cosinus i l'angle:

$\cos\alpha \approx 0.1985 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(0.1985) \approx 78.55^\circ$

Comprova que la calculadora estigui en graus (mode DEG) i no en radians. Com que el cosinus surt positiu, l'angle és agut (menys de 90°).