Exercicis de sèries numèriques i de potències

Pas 1 — comprovar la convergència. La raó és $\frac{1}{2}$ i el seu mòdul és menor que $1$, o sigui que la sèrie convergeix. (Amb mòdul $\geq 1$ ni tan sols el terme general tendiria a zero.)

Pas 2 — la fórmula. La suma d'una geomètrica des de l'exponent zero és

$\frac{1}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2$

$\text{suma} = 2$

La comprovació que sempre funciona: el resultat ha de ser més gran que el primer terme i, per a raó positiva, més petit que el primer terme dividit per $1-r$. I si la raó fos negativa, la suma quedaria entre dues sumes parcials consecutives.

El criteri. La sèrie $\sum n^{-p}$ convergeix exactament quan $p > 1$.

Aquí: $p = \frac{1}{2}$, que és menor que $1$, o sigui que la sèrie divergeix.

D'on surt el criteri. Del criteri integral: la funció $x^{-p}$ és positiva, contínua i decreixent, i la seva integral impròpia des d'$1$ fins a infinit convergeix exactament per a $p>1$. El cas $p=1$ és el logaritme, que divergeix.

Per què és important. Aquesta família és la referència amb què compararàs gairebé totes les altres sèries de termes positius, sobretot les racionals, on el criteri del quocient sempre dona $1$ i no decideix res.

La cota de Leibniz. Per a una sèrie alternada amb termes decreixents a zero, el residu està acotat pel primer terme no sumat:

$|R_N| \leq \frac{1}{N+1}$

Imposant la precisió.

$\frac{1}{N+1} \leq \frac{1}{10} \quad\Longrightarrow\quad N \geq 9$

o sigui $N = 9$ termes.

Dos matisos honestos. És una condició suficient, no el nombre mínim exacte. I fixa't en la lentitud: per guanyar un decimal cal multiplicar el nombre de termes per deu. Les sèries alternades convergeixen, però sovint massa a poc a poc per fer-les servir directament en un càlcul numèric.

El mètode. El radi és

$R = \frac{1}{\limsup |c_n|^{1/n}}$

o, equivalentment, el valor de $|x|$ que fa que el quocient de termes consecutius tendeixi a $1$.

Amb els coeficients $n$, el límit de l'arrel $n$-èsima val $1.0$, i per tant

$R = 1$

Els factors polinòmics no compten. L'arrel $n$-èsima de qualsevol potència de $n$ tendeix a $1$, de manera que multiplicar els coeficients per $n$, $n^{2}$ o el que sigui no canvia el radi. El que el determina és el creixement exponencial.

I els extrems? El radi diu què passa estrictament dins i estrictament fora. Als dos extrems cal estudiar cada cas per separat.

Pas 1 — comprovar la convergència. La raó és $\frac{1}{2}$ i el seu mòdul és menor que $1$, o sigui que la sèrie convergeix. (Amb mòdul $\geq 1$ ni tan sols el terme general tendiria a zero.)

Pas 2 — la fórmula. La suma d'una geomètrica des de l'exponent zero és

$\frac{1}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2$

Pas 3 — ajustar l'inici. Com que comences a $n=1$, cal multiplicar pel primer terme $\frac{1}{2}$:

$\text{suma} = 1$

La comprovació que sempre funciona: el resultat ha de ser més gran que el primer terme i, per a raó positiva, més petit que el primer terme dividit per $1-r$. I si la raó fos negativa, la suma quedaria entre dues sumes parcials consecutives.

El criteri. La sèrie $\sum n^{-p}$ convergeix exactament quan $p > 1$.

Aquí: $p = 1$, que val exactament $1$, o sigui que la sèrie divergeix.

D'on surt el criteri. Del criteri integral: la funció $x^{-p}$ és positiva, contínua i decreixent, i la seva integral impròpia des d'$1$ fins a infinit convergeix exactament per a $p>1$. El cas $p=1$ és el logaritme, que divergeix.

Per què és important. Aquesta família és la referència amb què compararàs gairebé totes les altres sèries de termes positius, sobretot les racionals, on el criteri del quocient sempre dona $1$ i no decideix res.

La cota de Leibniz. Per a una sèrie alternada amb termes decreixents a zero, el residu està acotat pel primer terme no sumat:

$|R_N| \leq \frac{1}{N+1}$

Imposant la precisió.

$\frac{1}{N+1} \leq \frac{1}{100} \quad\Longrightarrow\quad N \geq 99$

o sigui $N = 99$ termes.

Dos matisos honestos. És una condició suficient, no el nombre mínim exacte. I fixa't en la lentitud: per guanyar un decimal cal multiplicar el nombre de termes per deu. Les sèries alternades convergeixen, però sovint massa a poc a poc per fer-les servir directament en un càlcul numèric.

El mètode. El radi és

$R = \frac{1}{\limsup |c_n|^{1/n}}$

o, equivalentment, el valor de $|x|$ que fa que el quocient de termes consecutius tendeixi a $1$.

Amb els coeficients $n^{2}$, el límit de l'arrel $n$-èsima val $1.0$, i per tant

$R = 1$

Els factors polinòmics no compten. L'arrel $n$-èsima de qualsevol potència de $n$ tendeix a $1$, de manera que multiplicar els coeficients per $n$, $n^{2}$ o el que sigui no canvia el radi. El que el determina és el creixement exponencial.

I els extrems? El radi diu què passa estrictament dins i estrictament fora. Als dos extrems cal estudiar cada cas per separat.

Pas 1 — comprovar la convergència. La raó és $\frac{1}{2}$ i el seu mòdul és menor que $1$, o sigui que la sèrie convergeix. (Amb mòdul $\geq 1$ ni tan sols el terme general tendiria a zero.)

Pas 2 — la fórmula. La suma d'una geomètrica des de l'exponent zero és

$\frac{1}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2$

Pas 3 — ajustar l'inici. Com que comences a $n=2$, cal multiplicar pel primer terme $\frac{1}{4}$:

$\text{suma} = \frac{1}{2} \approx 0.5000$

La comprovació que sempre funciona: el resultat ha de ser més gran que el primer terme i, per a raó positiva, més petit que el primer terme dividit per $1-r$. I si la raó fos negativa, la suma quedaria entre dues sumes parcials consecutives.

El criteri. La sèrie $\sum n^{-p}$ convergeix exactament quan $p > 1$.

Aquí: $p = \frac{3}{2}$, que és més gran que $1$, o sigui que la sèrie convergeix.

D'on surt el criteri. Del criteri integral: la funció $x^{-p}$ és positiva, contínua i decreixent, i la seva integral impròpia des d'$1$ fins a infinit convergeix exactament per a $p>1$. El cas $p=1$ és el logaritme, que divergeix.

Per què és important. Aquesta família és la referència amb què compararàs gairebé totes les altres sèries de termes positius, sobretot les racionals, on el criteri del quocient sempre dona $1$ i no decideix res.