Exercicis de sèries numèriques i de potències

Pas 1 — comprovar la convergència. La raó és $\frac{2}{9}$ i el seu mòdul és menor que $1$, o sigui que la sèrie convergeix. (Amb mòdul $\geq 1$ ni tan sols el terme general tendiria a zero.)

Pas 2 — la fórmula. La suma d'una geomètrica des de l'exponent zero és

$\frac{1}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{2}{9}} = \frac{9}{7}$

Pas 3 — ajustar l'inici. Com que comences a $n=2$, cal multiplicar pel primer terme $\frac{4}{81}$:

$\text{suma} = \frac{4}{63} \approx 0.0635$

La comprovació que sempre funciona: el resultat ha de ser més gran que el primer terme i, per a raó positiva, més petit que el primer terme dividit per $1-r$. I si la raó fos negativa, la suma quedaria entre dues sumes parcials consecutives.

Pas 1 — comprovar la convergència. La raó és $\frac{4}{9}$ i el seu mòdul és menor que $1$, o sigui que la sèrie convergeix. (Amb mòdul $\geq 1$ ni tan sols el terme general tendiria a zero.)

Pas 2 — la fórmula. La suma d'una geomètrica des de l'exponent zero és

$\frac{1}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{4}{9}} = \frac{9}{5}$

$\text{suma} = \frac{9}{5} \approx 1.8000$

La comprovació que sempre funciona: el resultat ha de ser més gran que el primer terme i, per a raó positiva, més petit que el primer terme dividit per $1-r$. I si la raó fos negativa, la suma quedaria entre dues sumes parcials consecutives.

Pas 1 — comprovar la convergència. La raó és $\frac{4}{9}$ i el seu mòdul és menor que $1$, o sigui que la sèrie convergeix. (Amb mòdul $\geq 1$ ni tan sols el terme general tendiria a zero.)

Pas 2 — la fórmula. La suma d'una geomètrica des de l'exponent zero és

$\frac{1}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{4}{9}} = \frac{9}{5}$

Pas 3 — ajustar l'inici. Com que comences a $n=1$, cal multiplicar pel primer terme $\frac{4}{9}$:

$\text{suma} = \frac{4}{5} \approx 0.8000$

La comprovació que sempre funciona: el resultat ha de ser més gran que el primer terme i, per a raó positiva, més petit que el primer terme dividit per $1-r$. I si la raó fos negativa, la suma quedaria entre dues sumes parcials consecutives.

Pas 1 — comprovar la convergència. La raó és $\frac{4}{9}$ i el seu mòdul és menor que $1$, o sigui que la sèrie convergeix. (Amb mòdul $\geq 1$ ni tan sols el terme general tendiria a zero.)

Pas 2 — la fórmula. La suma d'una geomètrica des de l'exponent zero és

$\frac{1}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{4}{9}} = \frac{9}{5}$

Pas 3 — ajustar l'inici. Com que comences a $n=2$, cal multiplicar pel primer terme $\frac{16}{81}$:

$\text{suma} = \frac{16}{45} \approx 0.3556$

La comprovació que sempre funciona: el resultat ha de ser més gran que el primer terme i, per a raó positiva, més petit que el primer terme dividit per $1-r$. I si la raó fos negativa, la suma quedaria entre dues sumes parcials consecutives.

Pas 1 — comprovar la convergència. La raó és $\frac{1}{11}$ i el seu mòdul és menor que $1$, o sigui que la sèrie convergeix. (Amb mòdul $\geq 1$ ni tan sols el terme general tendiria a zero.)

Pas 2 — la fórmula. La suma d'una geomètrica des de l'exponent zero és

$\frac{1}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{11}} = \frac{11}{10}$

$\text{suma} = \frac{11}{10} \approx 1.1000$

La comprovació que sempre funciona: el resultat ha de ser més gran que el primer terme i, per a raó positiva, més petit que el primer terme dividit per $1-r$. I si la raó fos negativa, la suma quedaria entre dues sumes parcials consecutives.

Pas 1 — comprovar la convergència. La raó és $\frac{1}{11}$ i el seu mòdul és menor que $1$, o sigui que la sèrie convergeix. (Amb mòdul $\geq 1$ ni tan sols el terme general tendiria a zero.)

Pas 2 — la fórmula. La suma d'una geomètrica des de l'exponent zero és

$\frac{1}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{11}} = \frac{11}{10}$

Pas 3 — ajustar l'inici. Com que comences a $n=1$, cal multiplicar pel primer terme $\frac{1}{11}$:

$\text{suma} = \frac{1}{10} \approx 0.1000$

La comprovació que sempre funciona: el resultat ha de ser més gran que el primer terme i, per a raó positiva, més petit que el primer terme dividit per $1-r$. I si la raó fos negativa, la suma quedaria entre dues sumes parcials consecutives.

Pas 1 — comprovar la convergència. La raó és $\frac{1}{11}$ i el seu mòdul és menor que $1$, o sigui que la sèrie convergeix. (Amb mòdul $\geq 1$ ni tan sols el terme general tendiria a zero.)

Pas 2 — la fórmula. La suma d'una geomètrica des de l'exponent zero és

$\frac{1}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{11}} = \frac{11}{10}$

Pas 3 — ajustar l'inici. Com que comences a $n=2$, cal multiplicar pel primer terme $\frac{1}{121}$:

$\text{suma} = \frac{1}{110} \approx 0.0091$

La comprovació que sempre funciona: el resultat ha de ser més gran que el primer terme i, per a raó positiva, més petit que el primer terme dividit per $1-r$. I si la raó fos negativa, la suma quedaria entre dues sumes parcials consecutives.

Pas 1 — comprovar la convergència. La raó és $\frac{1}{12}$ i el seu mòdul és menor que $1$, o sigui que la sèrie convergeix. (Amb mòdul $\geq 1$ ni tan sols el terme general tendiria a zero.)

Pas 2 — la fórmula. La suma d'una geomètrica des de l'exponent zero és

$\frac{1}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{12}} = \frac{12}{11}$

$\text{suma} = \frac{12}{11} \approx 1.0909$

La comprovació que sempre funciona: el resultat ha de ser més gran que el primer terme i, per a raó positiva, més petit que el primer terme dividit per $1-r$. I si la raó fos negativa, la suma quedaria entre dues sumes parcials consecutives.

Pas 1 — comprovar la convergència. La raó és $\frac{1}{12}$ i el seu mòdul és menor que $1$, o sigui que la sèrie convergeix. (Amb mòdul $\geq 1$ ni tan sols el terme general tendiria a zero.)

Pas 2 — la fórmula. La suma d'una geomètrica des de l'exponent zero és

$\frac{1}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{12}} = \frac{12}{11}$

Pas 3 — ajustar l'inici. Com que comences a $n=1$, cal multiplicar pel primer terme $\frac{1}{12}$:

$\text{suma} = \frac{1}{11} \approx 0.0909$

La comprovació que sempre funciona: el resultat ha de ser més gran que el primer terme i, per a raó positiva, més petit que el primer terme dividit per $1-r$. I si la raó fos negativa, la suma quedaria entre dues sumes parcials consecutives.

Pas 1 — comprovar la convergència. La raó és $\frac{1}{12}$ i el seu mòdul és menor que $1$, o sigui que la sèrie convergeix. (Amb mòdul $\geq 1$ ni tan sols el terme general tendiria a zero.)

Pas 2 — la fórmula. La suma d'una geomètrica des de l'exponent zero és

$\frac{1}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{12}} = \frac{12}{11}$

Pas 3 — ajustar l'inici. Com que comences a $n=2$, cal multiplicar pel primer terme $\frac{1}{144}$:

$\text{suma} = \frac{1}{132} \approx 0.0076$

La comprovació que sempre funciona: el resultat ha de ser més gran que el primer terme i, per a raó positiva, més petit que el primer terme dividit per $1-r$. I si la raó fos negativa, la suma quedaria entre dues sumes parcials consecutives.