Exercicis de funcions complexes

Aquesta és una de les propietats més boniques de l'exponencial complexa. Separem-la:

$e^z = e^{-2 - 3i} = e^{-2} \cdot e^{-3i}$

Per la fórmula d'Euler, $e^{-3i} = \cos(-3) + i\sin(-3)$, i el seu mòdul és:

$\sqrt{\cos^2(-3) + \sin^2(-3)} = \sqrt{1} = 1$

Sempre val 1, sigui quin sigui $b$: el factor imaginari només gira, no estira ni encongeix.

Per tant, el mòdul depèn només de la part real:

$|e^z| = e^{\operatorname{Re}(z)} = e^{-2} \approx 0.1353$

La fórmula d'Euler és el pont entre l'exponencial i la trigonometria, i és la raó per la qual els complexos són tan útils:

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

Aquí $\theta = 0.1$ radiants (no graus):

$e^{0.1i} = \cos(0.1) + i\sin(0.1)$

La part real és el cosinus:

$\operatorname{Re}(e^{0.1i}) = \cos(0.1) \approx 0.9950$

Assegura't que la calculadora està en radians. En graus, $\cos(0.1)$ dona una cosa completament diferent.

Aquesta és una de les propietats més boniques de l'exponencial complexa. Separem-la:

$e^z = e^{-2 - 2i} = e^{-2} \cdot e^{-2i}$

Per la fórmula d'Euler, $e^{-2i} = \cos(-2) + i\sin(-2)$, i el seu mòdul és:

$\sqrt{\cos^2(-2) + \sin^2(-2)} = \sqrt{1} = 1$

Sempre val 1, sigui quin sigui $b$: el factor imaginari només gira, no estira ni encongeix.

Per tant, el mòdul depèn només de la part real:

$|e^z| = e^{\operatorname{Re}(z)} = e^{-2} \approx 0.1353$

La fórmula d'Euler és el pont entre l'exponencial i la trigonometria, i és la raó per la qual els complexos són tan útils:

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

Aquí $\theta = 0.2$ radiants (no graus):

$e^{0.2i} = \cos(0.2) + i\sin(0.2)$

La part real és el cosinus:

$\operatorname{Re}(e^{0.2i}) = \cos(0.2) \approx 0.9801$

Assegura't que la calculadora està en radians. En graus, $\cos(0.2)$ dona una cosa completament diferent.

Aquesta és una de les propietats més boniques de l'exponencial complexa. Separem-la:

$e^z = e^{-2 - i} = e^{-2} \cdot e^{-i}$

Per la fórmula d'Euler, $e^{-i} = \cos(-1) + i\sin(-1)$, i el seu mòdul és:

$\sqrt{\cos^2(-1) + \sin^2(-1)} = \sqrt{1} = 1$

Sempre val 1, sigui quin sigui $b$: el factor imaginari només gira, no estira ni encongeix.

Per tant, el mòdul depèn només de la part real:

$|e^z| = e^{\operatorname{Re}(z)} = e^{-2} \approx 0.1353$

La fórmula d'Euler és el pont entre l'exponencial i la trigonometria, i és la raó per la qual els complexos són tan útils:

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

Aquí $\theta = 0.3$ radiants (no graus):

$e^{0.3i} = \cos(0.3) + i\sin(0.3)$

La part real és el cosinus:

$\operatorname{Re}(e^{0.3i}) = \cos(0.3) \approx 0.9553$

Assegura't que la calculadora està en radians. En graus, $\cos(0.3)$ dona una cosa completament diferent.

Aquesta és una de les propietats més boniques de l'exponencial complexa. Separem-la:

$e^z = e^{-2} = e^{-2} \cdot e^{0}$

Per la fórmula d'Euler, $e^{0} = \cos(0) + i\sin(0)$, i el seu mòdul és:

$\sqrt{\cos^2(0) + \sin^2(0)} = \sqrt{1} = 1$

Sempre val 1, sigui quin sigui $b$: el factor imaginari només gira, no estira ni encongeix.

Per tant, el mòdul depèn només de la part real:

$|e^z| = e^{\operatorname{Re}(z)} = e^{-2} \approx 0.1353$

La fórmula d'Euler és el pont entre l'exponencial i la trigonometria, i és la raó per la qual els complexos són tan útils:

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

Aquí $\theta = 0.4$ radiants (no graus):

$e^{0.4i} = \cos(0.4) + i\sin(0.4)$

La part real és el cosinus:

$\operatorname{Re}(e^{0.4i}) = \cos(0.4) \approx 0.9211$

Assegura't que la calculadora està en radians. En graus, $\cos(0.4)$ dona una cosa completament diferent.

Aquesta és una de les propietats més boniques de l'exponencial complexa. Separem-la:

$e^z = e^{-2 + i} = e^{-2} \cdot e^{i}$

Per la fórmula d'Euler, $e^{i} = \cos(1) + i\sin(1)$, i el seu mòdul és:

$\sqrt{\cos^2(1) + \sin^2(1)} = \sqrt{1} = 1$

Sempre val 1, sigui quin sigui $b$: el factor imaginari només gira, no estira ni encongeix.

Per tant, el mòdul depèn només de la part real:

$|e^z| = e^{\operatorname{Re}(z)} = e^{-2} \approx 0.1353$

La fórmula d'Euler és el pont entre l'exponencial i la trigonometria, i és la raó per la qual els complexos són tan útils:

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

Aquí $\theta = 0.5$ radiants (no graus):

$e^{0.5i} = \cos(0.5) + i\sin(0.5)$

La part real és el cosinus:

$\operatorname{Re}(e^{0.5i}) = \cos(0.5) \approx 0.8776$

Assegura't que la calculadora està en radians. En graus, $\cos(0.5)$ dona una cosa completament diferent.