Exercicis de funcions complexes

Aquesta és una de les propietats més boniques de l'exponencial complexa. Separem-la:

$e^z = e^{-2 + 2i} = e^{-2} \cdot e^{2i}$

Per la fórmula d'Euler, $e^{2i} = \cos(2) + i\sin(2)$, i el seu mòdul és:

$\sqrt{\cos^2(2) + \sin^2(2)} = \sqrt{1} = 1$

Sempre val 1, sigui quin sigui $b$: el factor imaginari només gira, no estira ni encongeix.

Per tant, el mòdul depèn només de la part real:

$|e^z| = e^{\operatorname{Re}(z)} = e^{-2} \approx 0.1353$

La fórmula d'Euler és el pont entre l'exponencial i la trigonometria, i és la raó per la qual els complexos són tan útils:

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

Aquí $\theta = 0.6$ radiants (no graus):

$e^{0.6i} = \cos(0.6) + i\sin(0.6)$

La part real és el cosinus:

$\operatorname{Re}(e^{0.6i}) = \cos(0.6) \approx 0.8253$

Assegura't que la calculadora està en radians. En graus, $\cos(0.6)$ dona una cosa completament diferent.

Aquesta és una de les propietats més boniques de l'exponencial complexa. Separem-la:

$e^z = e^{-2 + 3i} = e^{-2} \cdot e^{3i}$

Per la fórmula d'Euler, $e^{3i} = \cos(3) + i\sin(3)$, i el seu mòdul és:

$\sqrt{\cos^2(3) + \sin^2(3)} = \sqrt{1} = 1$

Sempre val 1, sigui quin sigui $b$: el factor imaginari només gira, no estira ni encongeix.

Per tant, el mòdul depèn només de la part real:

$|e^z| = e^{\operatorname{Re}(z)} = e^{-2} \approx 0.1353$

La fórmula d'Euler és el pont entre l'exponencial i la trigonometria, i és la raó per la qual els complexos són tan útils:

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

Aquí $\theta = 0.7$ radiants (no graus):

$e^{0.7i} = \cos(0.7) + i\sin(0.7)$

La part real és el cosinus:

$\operatorname{Re}(e^{0.7i}) = \cos(0.7) \approx 0.7648$

Assegura't que la calculadora està en radians. En graus, $\cos(0.7)$ dona una cosa completament diferent.

Aquesta és una de les propietats més boniques de l'exponencial complexa. Separem-la:

$e^z = e^{-2 + 4i} = e^{-2} \cdot e^{4i}$

Per la fórmula d'Euler, $e^{4i} = \cos(4) + i\sin(4)$, i el seu mòdul és:

$\sqrt{\cos^2(4) + \sin^2(4)} = \sqrt{1} = 1$

Sempre val 1, sigui quin sigui $b$: el factor imaginari només gira, no estira ni encongeix.

Per tant, el mòdul depèn només de la part real:

$|e^z| = e^{\operatorname{Re}(z)} = e^{-2} \approx 0.1353$

La fórmula d'Euler és el pont entre l'exponencial i la trigonometria, i és la raó per la qual els complexos són tan útils:

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

Aquí $\theta = 0.8$ radiants (no graus):

$e^{0.8i} = \cos(0.8) + i\sin(0.8)$

La part real és el cosinus:

$\operatorname{Re}(e^{0.8i}) = \cos(0.8) \approx 0.6967$

Assegura't que la calculadora està en radians. En graus, $\cos(0.8)$ dona una cosa completament diferent.

Aquesta és una de les propietats més boniques de l'exponencial complexa. Separem-la:

$e^z = e^{-1 - 3i} = e^{-1} \cdot e^{-3i}$

Per la fórmula d'Euler, $e^{-3i} = \cos(-3) + i\sin(-3)$, i el seu mòdul és:

$\sqrt{\cos^2(-3) + \sin^2(-3)} = \sqrt{1} = 1$

Sempre val 1, sigui quin sigui $b$: el factor imaginari només gira, no estira ni encongeix.

Per tant, el mòdul depèn només de la part real:

$|e^z| = e^{\operatorname{Re}(z)} = e^{-1} \approx 0.3679$

La fórmula d'Euler és el pont entre l'exponencial i la trigonometria, i és la raó per la qual els complexos són tan útils:

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

Aquí $\theta = 0.9$ radiants (no graus):

$e^{0.9i} = \cos(0.9) + i\sin(0.9)$

La part real és el cosinus:

$\operatorname{Re}(e^{0.9i}) = \cos(0.9) \approx 0.6216$

Assegura't que la calculadora està en radians. En graus, $\cos(0.9)$ dona una cosa completament diferent.

Aquesta és una de les propietats més boniques de l'exponencial complexa. Separem-la:

$e^z = e^{-1 - 2i} = e^{-1} \cdot e^{-2i}$

Per la fórmula d'Euler, $e^{-2i} = \cos(-2) + i\sin(-2)$, i el seu mòdul és:

$\sqrt{\cos^2(-2) + \sin^2(-2)} = \sqrt{1} = 1$

Sempre val 1, sigui quin sigui $b$: el factor imaginari només gira, no estira ni encongeix.

Per tant, el mòdul depèn només de la part real:

$|e^z| = e^{\operatorname{Re}(z)} = e^{-1} \approx 0.3679$

La fórmula d'Euler és el pont entre l'exponencial i la trigonometria, i és la raó per la qual els complexos són tan útils:

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

Aquí $\theta = 1.0$ radiants (no graus):

$e^{1.0i} = \cos(1.0) + i\sin(1.0)$

La part real és el cosinus:

$\operatorname{Re}(e^{1.0i}) = \cos(1.0) \approx 0.5403$

Assegura't que la calculadora està en radians. En graus, $\cos(1.0)$ dona una cosa completament diferent.