Exercicis de funcions complexes

Aquesta és una de les propietats més boniques de l'exponencial complexa. Separem-la:

$e^z = e^{1 + 3i} = e^{1} \cdot e^{3i}$

Per la fórmula d'Euler, $e^{3i} = \cos(3) + i\sin(3)$, i el seu mòdul és:

$\sqrt{\cos^2(3) + \sin^2(3)} = \sqrt{1} = 1$

Sempre val 1, sigui quin sigui $b$: el factor imaginari només gira, no estira ni encongeix.

Per tant, el mòdul depèn només de la part real:

$|e^z| = e^{\operatorname{Re}(z)} = e^{1} \approx 2.7183$

La fórmula d'Euler és el pont entre l'exponencial i la trigonometria, i és la raó per la qual els complexos són tan útils:

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

Aquí $\theta = 3.1$ radiants (no graus):

$e^{3.1i} = \cos(3.1) + i\sin(3.1)$

La part real és el cosinus:

$\operatorname{Re}(e^{3.1i}) = \cos(3.1) \approx -0.9991$

Assegura't que la calculadora està en radians. En graus, $\cos(3.1)$ dona una cosa completament diferent.

Aquesta és una de les propietats més boniques de l'exponencial complexa. Separem-la:

$e^z = e^{1 + 4i} = e^{1} \cdot e^{4i}$

Per la fórmula d'Euler, $e^{4i} = \cos(4) + i\sin(4)$, i el seu mòdul és:

$\sqrt{\cos^2(4) + \sin^2(4)} = \sqrt{1} = 1$

Sempre val 1, sigui quin sigui $b$: el factor imaginari només gira, no estira ni encongeix.

Per tant, el mòdul depèn només de la part real:

$|e^z| = e^{\operatorname{Re}(z)} = e^{1} \approx 2.7183$

La fórmula d'Euler és el pont entre l'exponencial i la trigonometria, i és la raó per la qual els complexos són tan útils:

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

Aquí $\theta = 3.2$ radiants (no graus):

$e^{3.2i} = \cos(3.2) + i\sin(3.2)$

La part real és el cosinus:

$\operatorname{Re}(e^{3.2i}) = \cos(3.2) \approx -0.9983$

Assegura't que la calculadora està en radians. En graus, $\cos(3.2)$ dona una cosa completament diferent.

Aquesta és una de les propietats més boniques de l'exponencial complexa. Separem-la:

$e^z = e^{2 - 3i} = e^{2} \cdot e^{-3i}$

Per la fórmula d'Euler, $e^{-3i} = \cos(-3) + i\sin(-3)$, i el seu mòdul és:

$\sqrt{\cos^2(-3) + \sin^2(-3)} = \sqrt{1} = 1$

Sempre val 1, sigui quin sigui $b$: el factor imaginari només gira, no estira ni encongeix.

Per tant, el mòdul depèn només de la part real:

$|e^z| = e^{\operatorname{Re}(z)} = e^{2} \approx 7.3891$

La fórmula d'Euler és el pont entre l'exponencial i la trigonometria, i és la raó per la qual els complexos són tan útils:

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

Aquí $\theta = 3.3$ radiants (no graus):

$e^{3.3i} = \cos(3.3) + i\sin(3.3)$

La part real és el cosinus:

$\operatorname{Re}(e^{3.3i}) = \cos(3.3) \approx -0.9875$

Assegura't que la calculadora està en radians. En graus, $\cos(3.3)$ dona una cosa completament diferent.

Aquesta és una de les propietats més boniques de l'exponencial complexa. Separem-la:

$e^z = e^{2 - 2i} = e^{2} \cdot e^{-2i}$

Per la fórmula d'Euler, $e^{-2i} = \cos(-2) + i\sin(-2)$, i el seu mòdul és:

$\sqrt{\cos^2(-2) + \sin^2(-2)} = \sqrt{1} = 1$

Sempre val 1, sigui quin sigui $b$: el factor imaginari només gira, no estira ni encongeix.

Per tant, el mòdul depèn només de la part real:

$|e^z| = e^{\operatorname{Re}(z)} = e^{2} \approx 7.3891$

La fórmula d'Euler és el pont entre l'exponencial i la trigonometria, i és la raó per la qual els complexos són tan útils:

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

Aquí $\theta = 3.4$ radiants (no graus):

$e^{3.4i} = \cos(3.4) + i\sin(3.4)$

La part real és el cosinus:

$\operatorname{Re}(e^{3.4i}) = \cos(3.4) \approx -0.9668$

Assegura't que la calculadora està en radians. En graus, $\cos(3.4)$ dona una cosa completament diferent.

Aquesta és una de les propietats més boniques de l'exponencial complexa. Separem-la:

$e^z = e^{2 - i} = e^{2} \cdot e^{-i}$

Per la fórmula d'Euler, $e^{-i} = \cos(-1) + i\sin(-1)$, i el seu mòdul és:

$\sqrt{\cos^2(-1) + \sin^2(-1)} = \sqrt{1} = 1$

Sempre val 1, sigui quin sigui $b$: el factor imaginari només gira, no estira ni encongeix.

Per tant, el mòdul depèn només de la part real:

$|e^z| = e^{\operatorname{Re}(z)} = e^{2} \approx 7.3891$

La fórmula d'Euler és el pont entre l'exponencial i la trigonometria, i és la raó per la qual els complexos són tan útils:

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

Aquí $\theta = 3.5$ radiants (no graus):

$e^{3.5i} = \cos(3.5) + i\sin(3.5)$

La part real és el cosinus:

$\operatorname{Re}(e^{3.5i}) = \cos(3.5) \approx -0.9365$

Assegura't que la calculadora està en radians. En graus, $\cos(3.5)$ dona una cosa completament diferent.