Regla de Laplace: casos favorables, casos possibles i la unió
Vols practicar? Aquest tema té 106 exercicis interactius de 4 tipus, de deu en deu, amb correcció immediata i explicació pas a pas.
La regla de Laplace és la fórmula més coneguda de la probabilitat, i també la que s'aplica malament més sovint, perquè té una condició que es passa per alt: els resultats han de ser equiprobables.
El que has de dominar abans: espai mostral i recompte de casos.
La regla
En un espai mostral finit amb resultats elementals equiprobables:
La condició d'equiprobabilitat és essencial, no un detall. Si els resultats no tenen la mateixa probabilitat, aquesta fórmula dona un número que no és la probabilitat.
Triar bé l'espai mostral
Aquí hi ha la decisió clau de molts problemes. Les sumes de dos daus no són equiprobables, encara que cada parella ordenada de cares sí que ho sigui, si els daus són equilibrats i independents.
Per tant, amb dos daus l'espai mostral que convé és el de les parelles ordenades, no el de les sumes possibles.
La pregunta que cal fer-se sempre: quins són els resultats que tenen realment la mateixa probabilitat? Aquests, i no altres, són els que es compten.
La probabilitat de la unió
Per a qualsevol parella d'esdeveniments:
Per què es resta la intersecció. En sumar i , els resultats que pertanyen a tots dos esdeveniments s'han comptat dues vegades. Restar la intersecció els deixa comptats una sola vegada.
Si són incompatibles, la intersecció té probabilitat zero i la fórmula es redueix a la suma. Però aquesta simplificació només val en aquest cas, i comprovar-ho és part de la resolució.
Les onze sumes de dos daus no són equiprobables
Amb dos daus, les sumes van del al : són onze valors. I tot i així
El motiu és que la suma es pot obtenir de sis maneres i la suma només d'una. Les sumes no tenen la mateixa probabilitat.
L'espai mostral correcte és el de les parelles ordenades , que sí que són equiprobables. Comptant-hi els casos favorables:
La regla general: abans d'aplicar Laplace, tria un espai mostral elemental on els resultats siguin realment equiprobables. Si no ho són, la fórmula no s'aplica, per molt que el recompte sigui correcte.
La suma de dos daus, ben plantejada
Amb dos daus equilibrats i independents, calcula la probabilitat que la suma sigui i que sigui .
L'espai mostral. Cada dau té resultats, i les parelles ordenades són
totes equiprobables perquè els daus són equilibrats i independents. Cada parella té probabilitat .
Casos favorables a la suma .
Són sis, de manera que
Casos favorables a la suma . Només :
Per què i compten per separat. Perquè l'espai mostral és de parelles ordenades: el primer dau fa un i el segon un és un resultat diferent del contrari. Si els comptéssim com un sol cas, els resultats deixarien de ser equiprobables i la fórmula no valdria.
Comprovació global. Si sumes les probabilitats de les onze sumes possibles, has d'obtenir :
Fixa't en la forma d'aquesta llista: creix fins al i torna a baixar. És el motiu pel qual el és la suma més probable, i és un resultat que no es veu gens si es pensa en les sumes com a resultats equiprobables.
La probabilitat d'una unió
En un dau equilibrat, calcula la probabilitat de «parell o múltiple de ».
Identifica els dos esdeveniments.
Les probabilitats individuals.
La intersecció. , de manera que
No són incompatibles, i per tant la fórmula completa és imprescindible.
Aplica la fórmula.
Comprovació comptant directament. , que són quatre resultats de sis:
Què hauria passat sense restar la intersecció. , és a dir cinc casos de sis. Però només n'hi ha quatre: el s'hauria comptat dues vegades.
El control que detecta aquest error. Si pots, compta directament la unió i compara. I si no pots, comprova que la probabilitat resultant no passi d': sumar sense restar és la causa més habitual de probabilitats absurdes.
Compta la unió directament si pots
Amb espais mostrals petits, enumerar la unió i comptar-ne els elements és més ràpid i més segur que aplicar la fórmula.
La fórmula és imprescindible quan et donen les probabilitats sense l'espai mostral, o quan l'espai és massa gran per enumerar-lo. Però quan tens tots dos camins, fer-ne un i comprovar amb l'altre és la millor garantia.
Exercici resolt: més gran que quatre
En un dau equilibrat, quina és la probabilitat de treure un nombre més gran que ?
Espai mostral. , amb els sis resultats equiprobables perquè el dau és equilibrat. Casos possibles: .
Casos favorables. «Més gran que » és : dos casos. El no hi entra, perquè la condició és estricta.
Aplica Laplace.
Comprovació pel complement. « o menys» són quatre casos, amb probabilitat . I ✓
El detall que decideix l'exercici. Si l'enunciat digués « o més», hi hauria tres casos favorables i la probabilitat seria . La diferència entre «més gran que» i «més gran o igual» és un cas sencer, i amb sis casos possibles això és un canvi considerable.
La condició que es dona per suposada. Que el dau és equilibrat, cosa que l'enunciat diu explícitament. Sense aquesta dada, Laplace no es podria aplicar: caldria conèixer la probabilitat de cada cara.
Exercici resolt: suma cinc amb dos daus
En dos daus equilibrats i independents, calcula la probabilitat que la suma sigui .
L'espai mostral. Les parelles ordenades, equiprobables.
Enumera els casos favorables. Cal que les dues cares sumin :
Són quatre casos.
Aplica Laplace.
Per què no són tres casos. La temptació és comptar les parelles sense ordre: i , és a dir dues. Però això no es pot fer, perquè i són resultats diferents i tots dos possibles. Comptant només dos casos sortiria , que és la meitat del valor correcte.
Comprovació per simetria. La suma i la suma han de tenir la mateixa probabilitat, perquè la distribució de les sumes és simètrica respecte del . I efectivament els casos de suma són : també quatre ✓
Comprovació de magnitud. ha de ser menor que , perquè el és la suma més probable ✓ I més gran que ✓
On ho faràs servir
La regla de Laplace és el punt de partida de tots els càlculs de probabilitat amb daus, cartes, sorteigs i mostreigs, i la condició d'equiprobabilitat és el que decideix si es pot aplicar.
La fórmula de la unió es generalitza a tres o més esdeveniments amb el principi d'inclusió-exclusió, que es fa servir en combinatòria i en informàtica per comptar sense duplicats.
I la idea de triar bé l'espai mostral és probablement la més transferible de tot el bloc: molts problemes de probabilitat que semblen difícils es tornen fàcils quan es descriuen amb els resultats correctes, i molts errors clàssics venen de comptar sobre un espai on els resultats no són equiprobables.
Ara prova-ho tu. 106 exercicis d'aquest tema, de 4 tipus diferents, per resoldre en línia, de deu en deu: escrius la resposta, te la corregeix a l'instant i, si falles, t'explica com es fa pas a pas. Quan acabis una tanda, en tens deu més, amb dades noves.
Fer els exercicisSimulacre d'examen