Rectes, plans i distàncies a l'espai: posicions relatives i rectes creuades

Aquest tema el vas veure a batxillerat, però aquí canvia el punt de vista: en comptes de memoritzar una fórmula per a cada cas, el que es fa és reduir-ho tot a dues idees. Les posicions relatives es decideixen comparant rangs, i totes les distàncies són components ortogonals. Amb això no cal recordar res més.

Representacions

Una recta s'escriu com un punt més múltiples d'un vector director no nul. Un pla de l'espai admet dues formes: paramètrica, amb un punt i dos vectors independents, i implícita, amb una normal no nul·la. La conversió és directa: la normal és el producte vectorial dels dos directors.

Per comparar dues rectes, planteja la igualtat dels seus punts genèrics i mira el sistema resultant.

El quadre complet, en termes del sistema:

• Directors proporcionals i un punt comú: coincidents.
• Directors proporcionals i cap punt comú: paral·leles.
• Directors no proporcionals i sistema compatible: secants.
• Directors no proporcionals i sistema incompatible: creuades.

Angles

Sempre es pren l'angle agut, i per això apareixen valors absoluts:

• Entre dues rectes: cosinus igual al mòdul del producte escalar dels directors dividit pel producte de les normes.
• Entre dos plans: el mateix amb les normals.
• Entre recta i pla: aquí és el sinus, no el cosinus, perquè l'angle entre el director i la normal és el complementari del que busques.

Distàncies: sempre una component ortogonal

Punt a pla. Projecta el desplaçament sobre la direcció normal:

$$d(a,\pi) = \frac{|n\cdot a + d|}{\lVert n\rVert}, \qquad P_\pi(a) = a - \frac{n\cdot a + d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n.$$

La segona fórmula dona a més el peu de la perpendicular, que sovint és el que realment necessites.

Punt a recta. Resta al vector que va del punt de la recta al punt donat la seva component en la direcció del director; el que queda és la component perpendicular, i la seva norma és la distància:

$$d(a,r) = \left\lVert (a-p) - \frac{(a-p)\cdot v}{\lVert v\rVert^{2}}\,v \right\rVert = \frac{\lVert (a-p)\times v\rVert}{\lVert v\rVert}.$$

La segona igualtat només val en dimensió tres, on hi ha producte vectorial; la primera funciona en qualsevol dimensió, i és la que convé recordar.

Rectes creuades

Si els directors no són proporcionals,

$$d(r,s) = \frac{|(q-p)\cdot(v\times w)|}{\lVert v\times w\rVert}.$$

La lectura és molt clara: el numerador és el volum del paral·lelepípede format pels dos directors i pel desplaçament entre orígens, i el denominador és l'àrea de la base. El quocient és l'altura, que és justament la distància comuna perpendicular.

Si les dues rectes es tallen, el numerador és zero (els tres vectors són coplanaris) i la fórmula dona correctament distància zero, cosa que la converteix també en un test de posició relativa.

Interseccions i rangs

La intersecció de plans és un sistema lineal. Si és compatible, la dimensió del conjunt de solucions és $3$ menys el rang de la matriu de coeficients.

Dues precisions que decideixen exercicis:

• Cal distingir el rang de la matriu de coeficients del de l'ampliada. Si difereixen, el sistema és incompatible i la intersecció és buida.
• El nombre d'equacions escrites no determina la dimensió. Tres plans poden donar una recta si dues equacions són dependents, i quatre plans poden tallar-se en un punt.

Exercici resolt: projecció sobre un pla per l'origen

Troba la projecció de $(1,2,3)$ sobre el pla $x+y+z = 0$ i la distància.

Dades. La normal és $(1,1,1)$, de norma al quadrat $3$, i el terme independent és zero.

El coeficient. El producte escalar del punt amb la normal val $1+2+3 = 6$, i dividit per $3$ dona $2$.

La projecció.

$$(1,2,3) - 2\cdot(1,1,1) = (-1,0,1).$$

Comprovació: la suma de les coordenades és zero, o sigui que pertany al pla. Correcte.

La distància és la norma de la component que has restat:

$$\lVert 2(1,1,1)\rVert = 2\sqrt3 \approx 3{,}46.$$

Comprovació amb la fórmula directa: $|6|/\sqrt3 = 6/\sqrt3 = 2\sqrt3$. Coincideix.

Fer-ho de les dues maneres costa deu segons més i detecta qualsevol error de signe.

Exercici resolt: decidir la posició relativa

Quina és la posició relativa de la recta $(1+t,\ 2t,\ -t)$ i el pla $x+y+z = 4$?

Pas 1 — el director i la normal. Director $(1,2,-1)$, normal $(1,1,1)$.

Pas 2 — són perpendiculars? El producte escalar val $1+2-1 = 2 \neq 0$. Com que no són perpendiculars, el director no és paral·lel al pla i la recta el talla en un punt.

Pas 3 — trobar el punt. Substituint a l'equació del pla:

$$(1+t) + 2t + (-t) = 4 \quad\Longrightarrow\quad 1 + 2t = 4 \quad\Longrightarrow\quad t = \tfrac32.$$

El punt és $\left(\tfrac52,\ 3,\ -\tfrac32\right)$, i la suma de les seves coordenades val $4$. Correcte.

El quadre de casos. Si el producte escalar hagués estat zero, la recta seria paral·lela al pla, i llavors caldria mirar si algun dels seus punts hi pertany: si sí, la recta és continguda al pla; si no, és paral·lela disjunta. El producte escalar decideix el primer nivell i un sol punt decideix el segon.