Patrons i successions: terme general de l'aritmètica i la geomètrica

Trobar el terme general d'una successió és la primera vegada que l'àlgebra serveix per predir: en comptes de calcular terme a terme, obtens una fórmula que et dona qualsevol posició directament. El que costa no és la fórmula, és justificar-la.

El que has de dominar abans: llenguatge algebraic i potències.

Successió, regla recursiva i terme general

Una successió és una llista ordenada de termes: $a_1, a_2, a_3, \ldots$ El subíndex és la posició, no el valor.

Hi ha dues maneres de descriure-la:

Regla recursiva. Diu com passar d'un terme al següent: «cada terme és l'anterior més quatre». És fàcil de trobar, però per saber el terme cent has de calcular els noranta-nou anteriors.

Terme general. És una fórmula que dona directament el terme de posició $n$. Costa més de trobar i és molt més útil.

Progressió aritmètica

Si la diferència entre termes consecutius és constant, la successió és aritmètica:

$$d = a_{n+1} - a_n, \qquad a_n = a_1 + (n-1)\,d.$$

D'on surt la fórmula. Per arribar del primer terme al terme $n$ has de fer $n-1$ salts, i cada salt suma $d$. Per això el factor és $n-1$ i no $n$.

Progressió geomètrica

Si el quocient entre termes consecutius és constant, la successió és geomètrica:

$$r = \frac{a_{n+1}}{a_n}, \qquad a_n = a_1\,r^{\,n-1}.$$

El mateix raonament: $n-1$ salts, i cada salt multiplica per $r$. Per calcular la raó dividint termes consecutius, el divisor ha de ser diferent de zero.

Com decidir quin dels dos models és

Mira dues coses alhora sobre tres o quatre termes consecutius: les diferències i els quocients.

Si les diferències surten constants, és aritmètica. Si els quocients surten constants, és geomètrica. Si no ho és cap de les dues, el patró és d'un altre tipus i cal buscar-lo amb la construcció.

Exercici resolt: una aritmètica

Per a la successió $5, 9, 13, \ldots$, escriu el terme general i calcula el desè terme.

Identifica el model. Diferències: $9-5=4$ i $13-9=4$. Constants, de manera que és aritmètica amb $a_1 = 5$ i $d = 4$.

Terme general.

$$a_n = 5 + 4(n-1) = 4n + 1.$$

Comprovació a $n=1$: $4+1=5$ ✓ A $n=2$: $8+1=9$ ✓ A $n=3$: $12+1=13$ ✓

Desè terme.

$$a_{10} = 4\cdot 10 + 1 = 41.$$

Comprovació per un altre camí. Del primer al desè terme hi ha nou salts de quatre, és a dir $36$, i $5+36 = 41$ ✓

Una observació sobre les dues formes de la fórmula. $5+4(n-1)$ i $4n+1$ són equivalents, i totes dues valen. La primera deixa veure d'on surt (primer terme més salts); la segona és més curta per calcular. Convé saber passar d'una a l'altra, perquè als exàmens apareixen les dues.

Exercici resolt: quants quadrats amb cent llumins

En el patró dels quadrats amb llumins, quants quadrats es poden fer exactament amb $100$ llumins?

Parteix del terme general. Havíem trobat $a_n = 3n+1$.

Planteja l'equació. Vols el nombre de quadrats que gasta exactament cent llumins:

$$3n + 1 = 100.$$

Resol.

$$3n = 99, \qquad n = 33.$$

Comprovació. $3\cdot 33 + 1 = 100$ ✓ Amb trenta-tres quadrats es fan servir exactament els cent llumins.

La part que l'exercici realment avalua. Fixa't que aquí la fórmula s'ha fet servir a l'inrevés: en comptes de donar la posició i trobar el valor, hem donat el valor i trobat la posició. Això és resoldre una equació, i és el que fa útil tenir un terme general en comptes d'una regla recursiva.

Un detall que convé comentar. El resultat ha sortit enter, i havia de sortir-ho perquè $n$ compta quadrats. Si l'enunciat hagués dit $101$ llumins, l'equació $3n+1=101$ donaria $n = 100/3$, que no és enter: la resposta seria que no es pot fer un nombre exacte de quadrats amb $101$ llumins, i que amb trenta-tres quadrats en sobraria un. Mirar si la solució té sentit en el context del problema forma part de la resposta.

On ho faràs servir

Les progressions aritmètiques i geomètriques tornen a batxillerat amb les sumes de termes, i la geomètrica és la base matemàtica de l'interès compost que has vist al bloc de proporcionalitat: un capital que creix sempre pel mateix factor és una progressió geomètrica.

Al bloc de funcions, l'aritmètica es correspon amb la funció afí i la geomètrica amb l'exponencial. Són les mateixes dues maneres de créixer, vistes com a llista de valors en comptes de com a corba.

I la part de trobar patrons en construccions geomètriques és una de les habilitats que més es valoren a les proves de competències, perquè demana justificar una fórmula i no només aplicar-la.