Funcions a trossos i elecció de models: quina regla toca a cada tram

Aquest tema tanca el bloc amb dues habilitats pràctiques: avaluar una funció definida per trams i decidir quin model encaixa amb unes dades. Totes dues demanen mirar abans de calcular.

El que has de dominar abans: funcions afines, intervals i lectura de gràfiques.

Funcions a trossos

Una funció a trossos fa servir expressions diferents segons l'interval de l'entrada. El procediment és sempre el mateix:

1. Localitza el tram al qual pertany l'entrada.

2. Substitueix a l'expressió d'aquell tram, i només a aquella.

L'ordre importa. La temptació és mirar les dues fórmules i triar la que sembla més fàcil; el que decideix és l'interval, no la comoditat.

Les fronteres

Als punts de canvi hi ha dues coses a comprovar:

Quina regla inclou el punt. Mira els símbols: $x \leq 2$ inclou el $2$, i $x > 2$ no. Un punt de canvi pertany a un sol tram.

Si els valors dels dos costats coincideixen. Calcula el valor amb les dues expressions al punt de canvi. Si coincideixen, la funció no té salt i la gràfica es dibuixa d'un traç. Si no coincideixen, hi ha un salt.

Triar un model a partir d'una taula

Amb una taula de valors amb entrades igualment espaiades:

• si les diferències entre sortides consecutives són constants → model afí;
• si els quocients són constants → model exponencial;
• si els productes entrada per sortida són constants → model invers.

Amb poques dades, diversos models poden encaixar. Dos punts sempre es poden unir amb una recta, i també amb una exponencial. Per això el context és el que justifica l'elecció, i no només els números.

Interpolar i extrapolar

Interpolar és estimar un valor dins de l'interval de dades observades. És relativament segur.

Extrapolar és estimar-lo fora, i exigeix molta més cautela: el model pot deixar de valer precisament allà on no tens dades. És el mateix avís que apareixia a la lectura de gràfiques amb el màxim del dia.

Exercici resolt: dos valors de la tarifa

En l'aparcament de l'exemple, calcula $C(2)$ i $C(8)$.

$C(2)$. El $2$ pertany al primer tram, perquè la condició és $0 \leq t \leq 2$:

$$C(2) = 2\cdot 2 = 4 \ \text{euros}.$$

Comprovació amb l'altra expressió. La segona donaria $4 + (2-2) = 4$: el mateix. Com que coincideixen, aquí no importa quina triïs, i és precisament això el que vol dir que no hi ha salt.

$C(8)$. El $8$ pertany al segon tram, perquè $2 < 8 \leq 8$:

$$C(8) = 4 + (8-2) = 4 + 6 = 10 \ \text{euros}.$$

Comprovació del sentit. Vuit hores costen $10$ euros, i les dues primeres ja en costaven $4$. Les sis hores restants a un euro fan $6$, i $4+6=10$ ✓

Un control de coherència útil. Si haguessis aplicat la tarifa de $2$ euros a totes les hores, vuit hores costarien $16$ euros. El resultat ha de ser menor, perquè a partir de la tercera hora el preu baixa. $10 < 16$ ✓

I l'error que aquest exercici detecta. Escriure $C(8) = 4 + 8 = 12$, oblidant restar les dues hores ja pagades. La resta del $-2$ és l'essència del segon tram.

Exercici resolt: hi ha salt a x igual a zero?

En la funció $f(x) = x+1$ per a $x<0$ i $f(x) = x^{2}$ per a $x \geq 0$, hi ha un salt a $x=0$? Explica-ho observant les dues expressions.

Avalua les dues expressions al punt de canvi.

$$\text{primera: } \quad 0 + 1 = 1, \qquad \text{segona: } \quad 0^{2} = 0.$$

No coincideixen, de manera que sí que hi ha un salt, d'una unitat d'alçada.

La redacció precisa. La primera expressió no s'avalua realment a $x=0$ (el $0$ no és al seu tram), però ens diu cap a quin valor s'acosta la gràfica per l'esquerra: $1$. El valor que la funció pren efectivament a $x=0$ és $0$, donat per la segona expressió. Com que l'aproximació per l'esquerra i el valor al punt no coincideixen, la gràfica es trenca.

El valor de la funció al punt de salt. És $f(0) = 0$, sense ambigüitat: el símbol $\geq$ assigna el $0$ al segon tram. Un punt de canvi pertany sempre a un sol tram, i els símbols ho decideixen.

Com es representa. Punt buit a $(0,1)$ i punt ple a $(0,0)$.

Per contrast, quan no hi hauria salt. Si la primera expressió fos $f(x) = x$ en comptes de $x+1$, per l'esquerra s'acostaria a $0$ i coincidiria amb el valor de la segona. La gràfica es dibuixaria sense aixecar el llapis, tot i que el canvi de recta a paràbola continuaria sent visible com un canvi de forma.

I el nom que tindrà més endavant. Això és el primer contacte amb la continuïtat: una funció és contínua en un punt quan el valor que pren hi coincideix amb el que s'hi acosta pels dos costats. A batxillerat es formalitza amb límits laterals, però la comprovació pràctica és exactament la que acabes de fer.

On ho faràs servir

Les funcions a trossos són el model de totes les tarifes per trams: electricitat, aigua, telèfon, impostos per esglaons, descomptes per volum. Saber-les avaluar és directament útil.

La tria de model és el pas previ a qualsevol predicció amb dades, i reapareixerà al bloc d'estadística quan parlem de correlació i de recta de regressió. La precaució amb l'extrapolació és la mateixa allà.

I a batxillerat, les funcions definides a trossos són el terreny on s'estudia la continuïtat i on es veuen els primers casos de funcions derivables i no derivables. Les comprovacions de frontera que has fet aquí són, literalment, les mateixes que es faran allà amb límits laterals.