Models amb equacions diferencials: poblacions, mescles, oscil·ladors i SIR

A l'examen, la meitat dels problemes d'equacions diferencials no et donen l'equació: te la fan construir a partir d'un enunciat en paraules. Aquesta és la part que més es practica malament, perquè es tendeix a buscar quin model "s'assembla" al de l'enunciat en comptes de derivar-lo. La bona notícia és que gairebé tots els models clàssics surten del mateix principi, i que un cop l'automatitzes deixes de necessitar memoritzar-los.

El principi de balanç

Tots els models d'aquesta pàgina tenen la mateixa forma: variació = entrades menys sortides, més producció menys destrucció. Abans de començar a escriure res, fes aquests quatre passos.

Creixement de poblacions i recursos limitats

El model més simple suposa que la taxa de creixement per individu és constant: $N' = rN$. Dona $N = N_0 e^{rt}$ i, si $r > 0$, un temps de duplicació de $\ln 2 / r$ que no depèn de la població de partida. És raonable en fases inicials i absurd a llarg termini, perquè no hi ha cap recurs infinit.

El model logístic hi afegeix una capacitat de càrrega $K > 0$:

$$N' = rN\left(1 - \frac{N}{K}\right), \qquad N(t) = \frac{K}{1 + \left(\frac{K}{N_0} - 1\right)e^{-rt}}.$$

Els equilibris són $N = 0$ i $N = K$. Dins del semieix positiu, el primer és inestable (qualsevol població petita creix) i el segon és atractor (tota població positiva hi convergeix). Un detall que cau molt sovint a l'examen: el creixement absolut és màxim a $N = K/2$, perquè la paràbola $rN(1 - N/K)$ té el vèrtex allà. Això no s'ha de confondre amb la taxa per capita, que és $r(1 - N/K)$ i decreix sempre. Són dues preguntes diferents amb dues respostes diferents.

Mescles en un dipòsit

Un dipòsit conté un volum $V$ de líquid amb una massa $M(t)$ de solut. Hi entra líquid amb cabal $q$ i concentració $c_{\text{in}}$, i en surt amb el mateix cabal. El balanç és directe:

$$M' = \underbrace{q\,c_{\text{in}}}_{\text{entra}} - \underbrace{q\,\frac{M}{V}}_{\text{surt}}.$$

El terme de sortida mereix atenció. La concentració que surt és $M/V$ només perquè hem suposat mescla instantània i homogènia: sense aquesta hipòtesi el model no seria vàlid. I si els cabals d'entrada i sortida no coincideixen, el volum depèn del temps, cal escriure $V(t) = V_0 + (q_{\text{in}} - q_{\text{out}})t$ i mirar fins quan es manté positiu, perquè l'equació deixa de tenir sentit quan el dipòsit es buida o vessa.

El refredament de Newton és la mateixa estructura amb una altra interpretació: $T' = -k(T - T_a)$, que amb ambient constant dona $T = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$. Si l'ambient varia amb el temps l'equació segueix sent lineal, però ja no és separable i cal el factor integrant.

Oscil·ladors i circuits

El sistema massa-molla-amortidor compleix $m x'' + c x' + k x = F(t)$, amb massa i constant elàstica positives i amortiment no negatiu. El signe del discriminant $c^{2} - 4mk$ separa els tres règims: sobreamortit si és positiu (torna a l'equilibri sense oscil·lar), crític si és zero (el retorn més ràpid possible sense oscil·lació) i subamortit si és negatiu (oscil·la amb amplitud decreixent). El cas crític és el que es busca en amortidors de cotxe i en instruments de mesura.

Sense forçament, multiplica l'equació per $x'$ i reconeix una derivada:

$$E = \tfrac12 m (x')^{2} + \tfrac12 k x^{2}, \qquad E' = -c(x')^{2} \leq 0.$$

L'energia mecànica no pot créixer mai, i decreix estrictament sempre que la massa es mou. Aquesta identitat, que es dedueix en dues línies, és alhora una comprovació del model i una funció de Lyapunov feta i beneïda.

El circuit RLC en sèrie satisfà $L q'' + R q' + q/C = V(t)$ per a la càrrega. És literalment la mateixa equació amb un altre vocabulari: la inductància fa de massa, la resistència d'amortidor i l'invers de la capacitat de constant elàstica. Aprofita-ho: tot el que has entès d'un cas val per a l'altre.

Models econòmics i epidèmics

Un capital amb interès continu $r$ i aportacions constants $s$ per unitat de temps compleix $K' = rK + s$, que és lineal. Si $r \neq 0$,

$$K(t) = K_0 e^{rt} + \frac{s}{r}\left(e^{rt} - 1\right).$$

És un model idealitzat amb taxa fixa i temps continu. Serveix per entendre l'estructura de l'interès compost, no per predir rendiments reals.

El model SIR amb població tancada de mida $N$ reparteix la gent en susceptibles, infectats i recuperats:

$$S' = -\frac{\beta S I}{N}, \qquad I' = \frac{\beta S I}{N} - \gamma I, \qquad R' = \gamma I.$$

La primera comprovació és que la suma de les tres derivades és zero, de manera que la població total es conserva: si això no sortís, el model estaria mal escrit. La segona lectura important és el llindar: el nombre d'infectats creix inicialment si $\beta S_0 / N > \gamma$, és a dir si el quocient $\beta/\gamma$ supera $N/S_0$. Quan gairebé tothom és susceptible, la condició es redueix a $\beta/\gamma > 1$, i aquest quocient és el que s'anomena nombre reproductiu bàsic. Val la pena dir clarament què suposa el model: mescla homogènia de la població, paràmetres constants i absència d'estructura d'edat o geogràfica. Cap d'aquestes hipòtesis no és realista, i per això els paràmetres no es poden inferir sense dades.

Exercici resolt: energia sense amortiment

Què li passa a l'energia d'un oscil·lador sense amortiment ni forçament?

Amb $c = 0$ i $F = 0$, la identitat anterior dona $E' = 0$: l'energia mecànica es conserva exactament. El que passa és que es va intercanviant entre energia cinètica, màxima quan la massa passa per la posició d'equilibri, i energia potencial elàstica, màxima als extrems del recorregut. Com que $E$ és constant i la trajectòria en el pla de fases compleix una equació d'el·lipse, les òrbites són tancades: l'origen és un centre, estable però no asimptòticament estable.

Exercici resolt: dipòsit amb entrada salada

Un dipòsit de $200$ L conté aigua pura. Hi entra salmorra de $0{,}5$ kg/L a $4$ L/min i en surt mescla al mateix cabal. Quanta sal hi haurà al cap de molt de temps?

El balanç és $M' = 4\cdot 0{,}5 - 4M/200 = 2 - M/50$, amb $M(0) = 0$. És lineal amb factor integrant $e^{t/50}$, i la solució és

$$M(t) = 100\left(1 - e^{-t/50}\right)\ \text{kg}.$$

Quan el temps creix, la massa tendeix a $100$ kg, que és exactament el volum per la concentració d'entrada: al final el dipòsit acaba tenint la concentració del que hi entra, cosa que es podia haver predit abans de calcular res igualant la derivada a zero. Aquesta comprovació independent del límit és el millor control que pots fer d'un problema de mescles.