Simulacre d'examen de models amb equacions diferencials

Truc que estalvia tot el càlcul. A llarg termini el dipòsit arriba a l'equilibri, o sigui $M' = 0$. Amb cabal $q$,

$0 = q\cdot\frac{1}{2} - q\cdot\frac{M}{100} \quad\Longrightarrow\quad M = 100\cdot\frac{1}{2} = 50.0000\ \text{kg}$

El cabal se simplifica: no afecta el valor final, només la velocitat amb què s'hi arriba.

Interpretació. Té tot el sentit: al final el dipòsit acaba tenint exactament la concentració del que hi entra, i la sal total és el volum per aquesta concentració. Fer aquesta comprovació abans o després de resoldre és el millor control de qualitat d'un problema de mescles.

Truc que estalvia tot el càlcul. A llarg termini el dipòsit arriba a l'equilibri, o sigui $M' = 0$. Amb cabal $q$,

$0 = q\cdot\frac{1}{2} - q\cdot\frac{M}{200} \quad\Longrightarrow\quad M = 200\cdot\frac{1}{2} = 100.0000\ \text{kg}$

El cabal se simplifica: no afecta el valor final, només la velocitat amb què s'hi arriba.

Interpretació. Té tot el sentit: al final el dipòsit acaba tenint exactament la concentració del que hi entra, i la sal total és el volum per aquesta concentració. Fer aquesta comprovació abans o després de resoldre és el millor control de qualitat d'un problema de mescles.

Truc que estalvia tot el càlcul. A llarg termini el dipòsit arriba a l'equilibri, o sigui $M' = 0$. Amb cabal $q$,

$0 = q\cdot\frac{1}{2} - q\cdot\frac{M}{300} \quad\Longrightarrow\quad M = 300\cdot\frac{1}{2} = 150.0000\ \text{kg}$

El cabal se simplifica: no afecta el valor final, només la velocitat amb què s'hi arriba.

Interpretació. Té tot el sentit: al final el dipòsit acaba tenint exactament la concentració del que hi entra, i la sal total és el volum per aquesta concentració. Fer aquesta comprovació abans o després de resoldre és el millor control de qualitat d'un problema de mescles.

Pas 1 — l'equació. La llei de Newton diu que la velocitat de refredament és proporcional a la diferència amb l'ambient:

$T' = -\frac{1}{10}(T - 20)$

Pas 2 — el canvi que la fa fàcil. Si crides $u = T - 20$, aleshores $u' = -\frac{1}{10}u$, l'exponencial de sempre. Desfent el canvi:

$T(t) = 20 + (100 - 20)e^{-\frac{1}{10}t}$

Pas 3 — avaluar.

$T(20) = 20 + 80\,e^{-2} \approx 30.8268\ \text{°C}$

Comprovació de sentit comú: el resultat ha d'estar entre $20$ i $100$, i acostar-se a l'ambient sense arribar-hi mai. Si et surt per fora, has perdut un signe.

Pas 1 — l'equació. La llei de Newton diu que la velocitat de refredament és proporcional a la diferència amb l'ambient:

$T' = -\frac{1}{10}(T - 25)$

Pas 2 — el canvi que la fa fàcil. Si crides $u = T - 25$, aleshores $u' = -\frac{1}{10}u$, l'exponencial de sempre. Desfent el canvi:

$T(t) = 25 + (90 - 25)e^{-\frac{1}{10}t}$

Pas 3 — avaluar.

$T(20) = 25 + 65\,e^{-2} \approx 33.7968\ \text{°C}$

Comprovació de sentit comú: el resultat ha d'estar entre $25$ i $90$, i acostar-se a l'ambient sense arribar-hi mai. Si et surt per fora, has perdut un signe.

Pas 1 — l'equació. La llei de Newton diu que la velocitat de refredament és proporcional a la diferència amb l'ambient:

$T' = -\frac{1}{20}(T - 25)$

Pas 2 — el canvi que la fa fàcil. Si crides $u = T - 25$, aleshores $u' = -\frac{1}{20}u$, l'exponencial de sempre. Desfent el canvi:

$T(t) = 25 + (80 - 25)e^{-\frac{1}{20}t}$

Pas 3 — avaluar.

$T(10) = 25 + 55\,e^{-\frac{1}{2}} \approx 58.3592\ \text{°C}$

Comprovació de sentit comú: el resultat ha d'estar entre $25$ i $80$, i acostar-se a l'ambient sense arribar-hi mai. Si et surt per fora, has perdut un signe.

Pas 1 — l'equació. La llei de Newton diu que la velocitat de refredament és proporcional a la diferència amb l'ambient:

$T' = -\frac{1}{10}(T - 0)$

Pas 2 — el canvi que la fa fàcil. Si crides $u = T - 0$, aleshores $u' = -\frac{1}{10}u$, l'exponencial de sempre. Desfent el canvi:

$T(t) = 0 + (90 - 0)e^{-\frac{1}{10}t}$

Pas 3 — avaluar.

$T(10) = 0 + 90\,e^{-1} \approx 33.1091\ \text{°C}$

Comprovació de sentit comú: el resultat ha d'estar entre $0$ i $90$, i acostar-se a l'ambient sense arribar-hi mai. Si et surt per fora, has perdut un signe.

Pas 1 — l'equació. La llei de Newton diu que la velocitat de refredament és proporcional a la diferència amb l'ambient:

$T' = -\frac{1}{20}(T - 0)$

Pas 2 — el canvi que la fa fàcil. Si crides $u = T - 0$, aleshores $u' = -\frac{1}{20}u$, l'exponencial de sempre. Desfent el canvi:

$T(t) = 0 + (80 - 0)e^{-\frac{1}{20}t}$

Pas 3 — avaluar.

$T(10) = 0 + 80\,e^{-\frac{1}{2}} \approx 48.5225\ \text{°C}$

Comprovació de sentit comú: el resultat ha d'estar entre $0$ i $80$, i acostar-se a l'ambient sense arribar-hi mai. Si et surt per fora, has perdut un signe.

Pas 1 — el balanç. Variació = entrades menys sortides. No entra sal, i la que surt és el cabal per la concentració del dipòsit (mescla homogènia):

$M' = 0 - 2\cdot\frac{M}{100} = -\frac{1}{50}M$

Comprova les unitats: kg/min als dos costats. El volum és constant perquè entra i surt el mateix cabal.

Pas 2 — resoldre. És l'exponencial de sempre:

$M(t) = 10e^{-\frac{1}{50}t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 10$.

$M(10) = 10e^{-\frac{1}{5}} \approx 8.1873\ \text{kg}$

El temps de mitja vida és $\frac{\ln 2}{\frac{1}{50}} \approx 34.66$ minuts, i no depèn de la sal inicial.

Pas 1 — el balanç. Variació = entrades menys sortides. No entra sal, i la que surt és el cabal per la concentració del dipòsit (mescla homogènia):

$M' = 0 - 5\cdot\frac{M}{100} = -\frac{1}{20}M$

Comprova les unitats: kg/min als dos costats. El volum és constant perquè entra i surt el mateix cabal.

Pas 2 — resoldre. És l'exponencial de sempre:

$M(t) = 20e^{-\frac{1}{20}t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 30$.

$M(30) = 20e^{-\frac{3}{2}} \approx 4.4626\ \text{kg}$

El temps de mitja vida és $\frac{\ln 2}{\frac{1}{20}} \approx 13.86$ minuts, i no depèn de la sal inicial.

Pas 1 — el balanç. Variació = entrades menys sortides. No entra sal, i la que surt és el cabal per la concentració del dipòsit (mescla homogènia):

$M' = 0 - 4\cdot\frac{M}{200} = -\frac{1}{50}M$

Comprova les unitats: kg/min als dos costats. El volum és constant perquè entra i surt el mateix cabal.

Pas 2 — resoldre. És l'exponencial de sempre:

$M(t) = 20e^{-\frac{1}{50}t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 10$.

$M(10) = 20e^{-\frac{1}{5}} \approx 16.3746\ \text{kg}$

El temps de mitja vida és $\frac{\ln 2}{\frac{1}{50}} \approx 34.66$ minuts, i no depèn de la sal inicial.

Pas 1 — el balanç. Variació = entrades menys sortides. No entra sal, i la que surt és el cabal per la concentració del dipòsit (mescla homogènia):

$M' = 0 - 5\cdot\frac{M}{50} = -\frac{1}{10}M$

Comprova les unitats: kg/min als dos costats. El volum és constant perquè entra i surt el mateix cabal.

Pas 2 — resoldre. És l'exponencial de sempre:

$M(t) = 20e^{-\frac{1}{10}t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 10$.

$M(10) = 20e^{-1} \approx 7.3576\ \text{kg}$

El temps de mitja vida és $\frac{\ln 2}{\frac{1}{10}} \approx 6.93$ minuts, i no depèn de la sal inicial.