Exercicis de matrius

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $1$ i columna $1$ surt de creuar la fila $1$ de $A$ amb la columna $1$ de $B$.

• Fila $1$ de $A$: $(-3, -3)$
• Columna $1$ de $B$: $(-3, -4)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(-3)(-3) + (-3)(-4) = 9 + 12 = 21$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($1$, $1$) tenim $a = -3$ i $b = 0$:

$4 \cdot (-3) - 2 \cdot 0 = -12 + 0 = -12$

$A^{2}$ no vol dir elevar cada element a $2$. Vol dir multiplicar la matriu per ella mateixa $2$ vegades, amb la regla de files per columnes.

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ -6 & -4 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$, columna $1$ és $5$.

Consell d'examen: quan et demanin $A^{50}$ o similar, calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$ i busca-hi un patró. Sempre n'hi ha un; ningú no espera que facis cinquanta multiplicacions.

Per a matrius $2\times2$ no cal fer tot el mètode de la matriu adjunta. Hi ha una drecera:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

És a dir: s'intercanvien els elements de la diagonal principal, es canvia el signe als de l'altra diagonal, i es divideix tot pel determinant.

Pas 1 — el determinant:

$|A| = (3)(1) - (0)(0) = 3$

Com que no val zero, la inversa existeix.

Pas 2 — aplicar la fórmula:

$A^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

L'element demanat és $\frac{1}{3} \approx 0.3333$.

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $2$ i columna $1$ surt de creuar la fila $2$ de $A$ amb la columna $1$ de $B$.

• Fila $2$ de $A$: $(5, 3)$
• Columna $1$ de $B$: $(2, -1)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(5)(2) + (3)(-1) = 10 - 3 = 7$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($2$, $1$) tenim $a = 2$ i $b = 2$:

$2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 = 4 + 2 = 6$

$A^{3}$ no vol dir elevar cada element a $3$. Vol dir multiplicar la matriu per ella mateixa $3$ vegades, amb la regla de files per columnes.

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 7 & 5 \\ 15 & 12 \end{pmatrix}$

$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 29 & 22 \\ 66 & 51 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$, columna $1$ és $66$.

Consell d'examen: quan et demanin $A^{50}$ o similar, calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$ i busca-hi un patró. Sempre n'hi ha un; ningú no espera que facis cinquanta multiplicacions.

Per a matrius $2\times2$ no cal fer tot el mètode de la matriu adjunta. Hi ha una drecera:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

És a dir: s'intercanvien els elements de la diagonal principal, es canvia el signe als de l'altra diagonal, i es divideix tot pel determinant.

Pas 1 — el determinant:

$|A| = (1)(0) - (2)(-2) = 4$

Com que no val zero, la inversa existeix.

Pas 2 — aplicar la fórmula:

$A^{-1} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1/2 \\ 1/2 & 1/4 \end{pmatrix}$

L'element demanat és $\frac{1}{2} \approx 0.5000$.

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $1$ i columna $2$ surt de creuar la fila $1$ de $A$ amb la columna $2$ de $B$.

• Fila $1$ de $A$: $(0, 1)$
• Columna $2$ de $B$: $(3, 5)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(0)(3) + (1)(5) = 0 + 5 = 5$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($1$, $2$) tenim $a = 3$ i $b = -2$:

$3 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) = 9 - 2 = 7$