Exercicis de matrius

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $1$ i columna $1$ surt de creuar la fila $1$ de $A$ amb la columna $1$ de $B$.

• Fila $1$ de $A$: $(-1, -2)$
• Columna $1$ de $B$: $(-2, 4)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(-1)(-2) + (-2)(4) = 2 - 8 = -6$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($1$, $1$) tenim $a = -3$ i $b = 0$:

$2 \cdot (-3) + 1 \cdot 0 = -6 + 0 = -6$

$A^{2}$ no vol dir elevar cada element a $2$. Vol dir multiplicar la matriu per ella mateixa $2$ vegades, amb la regla de files per columnes.

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$, columna $1$ és $4$.

Consell d'examen: quan et demanin $A^{50}$ o similar, calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$ i busca-hi un patró. Sempre n'hi ha un; ningú no espera que facis cinquanta multiplicacions.

Per a matrius $2\times2$ no cal fer tot el mètode de la matriu adjunta. Hi ha una drecera:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

És a dir: s'intercanvien els elements de la diagonal principal, es canvia el signe als de l'altra diagonal, i es divideix tot pel determinant.

Pas 1 — el determinant:

$|A| = (2)(2) - (0)(2) = 4$

Com que no val zero, la inversa existeix.

Pas 2 — aplicar la fórmula:

$A^{-1} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ -1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$

L'element demanat és $\frac{1}{2} \approx 0.5000$.

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $2$ i columna $1$ surt de creuar la fila $2$ de $A$ amb la columna $1$ de $B$.

• Fila $2$ de $A$: $(5, 0)$
• Columna $1$ de $B$: $(3, 5)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(5)(3) + (0)(5) = 15 + 0 = 15$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($2$, $1$) tenim $a = 4$ i $b = 2$:

$-1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = -4 - 4 = -8$

$A^{2}$ no vol dir elevar cada element a $2$. Vol dir multiplicar la matriu per ella mateixa $2$ vegades, amb la regla de files per columnes.

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ -6 & 0 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$, columna $1$ és $-6$.

Consell d'examen: quan et demanin $A^{50}$ o similar, calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$ i busca-hi un patró. Sempre n'hi ha un; ningú no espera que facis cinquanta multiplicacions.

Per a matrius $2\times2$ no cal fer tot el mètode de la matriu adjunta. Hi ha una drecera:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

És a dir: s'intercanvien els elements de la diagonal principal, es canvia el signe als de l'altra diagonal, i es divideix tot pel determinant.

Pas 1 — el determinant:

$|A| = (1)(3) - (3)(2) = -3$

Com que no val zero, la inversa existeix.

Pas 2 — aplicar la fórmula:

$A^{-1} = \frac{1}{-3}\begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2/3 & -1/3 \end{pmatrix}$

L'element demanat és $-1$.

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $1$ i columna $2$ surt de creuar la fila $1$ de $A$ amb la columna $2$ de $B$.

• Fila $1$ de $A$: $(3, -3)$
• Columna $2$ de $B$: $(1, 0)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(3)(1) + (-3)(0) = 3 + 0 = 3$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($1$, $2$) tenim $a = 5$ i $b = -4$:

$3 \cdot 5 + 3 \cdot (-4) = 15 - 12 = 3$