Exercicis de matrius

$A^{3}$ no vol dir elevar cada element a $3$. Vol dir multiplicar la matriu per ella mateixa $3$ vegades, amb la regla de files per columnes.

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$, columna $1$ és $-1$.

Consell d'examen: quan et demanin $A^{50}$ o similar, calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$ i busca-hi un patró. Sempre n'hi ha un; ningú no espera que facis cinquanta multiplicacions.

Per a matrius $2\times2$ no cal fer tot el mètode de la matriu adjunta. Hi ha una drecera:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

És a dir: s'intercanvien els elements de la diagonal principal, es canvia el signe als de l'altra diagonal, i es divideix tot pel determinant.

Pas 1 — el determinant:

$|A| = (0)(-1) - (3)(3) = -9$

Com que no val zero, la inversa existeix.

Pas 2 — aplicar la fórmula:

$A^{-1} = \frac{1}{-9}\begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/9 & 1/3 \\ 1/3 & 0 \end{pmatrix}$

L'element demanat és $\frac{1}{3} \approx 0.3333$.

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $2$ i columna $1$ surt de creuar la fila $2$ de $A$ amb la columna $1$ de $B$.

• Fila $2$ de $A$: $(4, -3)$
• Columna $1$ de $B$: $(-2, -1)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(4)(-2) + (-3)(-1) = -8 + 3 = -5$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($2$, $1$) tenim $a = 0$ i $b = -2$:

$4 \cdot 0 + 1 \cdot (-2) = 0 - 2 = -2$

$A^{2}$ no vol dir elevar cada element a $2$. Vol dir multiplicar la matriu per ella mateixa $2$ vegades, amb la regla de files per columnes.

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$, columna $1$ és $0$.

Consell d'examen: quan et demanin $A^{50}$ o similar, calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$ i busca-hi un patró. Sempre n'hi ha un; ningú no espera que facis cinquanta multiplicacions.

Per a matrius $2\times2$ no cal fer tot el mètode de la matriu adjunta. Hi ha una drecera:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

És a dir: s'intercanvien els elements de la diagonal principal, es canvia el signe als de l'altra diagonal, i es divideix tot pel determinant.

Pas 1 — el determinant:

$|A| = (2)(0) - (2)(3) = -6$

Com que no val zero, la inversa existeix.

Pas 2 — aplicar la fórmula:

$A^{-1} = \frac{1}{-6}\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1/3 \\ 1/2 & -1/3 \end{pmatrix}$

L'element demanat és $\frac{1}{3} \approx 0.3333$.

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $1$ i columna $2$ surt de creuar la fila $1$ de $A$ amb la columna $2$ de $B$.

• Fila $1$ de $A$: $(3, -2)$
• Columna $2$ de $B$: $(2, 1)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(3)(2) + (-2)(1) = 6 - 2 = 4$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($1$, $2$) tenim $a = 2$ i $b = 1$:

$4 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 8 - 2 = 6$

$A^{3}$ no vol dir elevar cada element a $3$. Vol dir multiplicar la matriu per ella mateixa $3$ vegades, amb la regla de files per columnes.

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$

$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$, columna $2$ és $-2$.

Consell d'examen: quan et demanin $A^{50}$ o similar, calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$ i busca-hi un patró. Sempre n'hi ha un; ningú no espera que facis cinquanta multiplicacions.

Per a matrius $2\times2$ no cal fer tot el mètode de la matriu adjunta. Hi ha una drecera:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

És a dir: s'intercanvien els elements de la diagonal principal, es canvia el signe als de l'altra diagonal, i es divideix tot pel determinant.

Pas 1 — el determinant:

$|A| = (2)(4) - (-1)(1) = 9$

Com que no val zero, la inversa existeix.

Pas 2 — aplicar la fórmula:

$A^{-1} = \frac{1}{9}\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/9 & 1/9 \\ -1/9 & 2/9 \end{pmatrix}$

L'element demanat és $\frac{2}{9} \approx 0.2222$.