Exercicis de matrius

$A^{3}$ no vol dir elevar cada element a $3$. Vol dir multiplicar la matriu per ella mateixa $3$ vegades, amb la regla de files per columnes.

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$, columna $2$ és $-5$.

Consell d'examen: quan et demanin $A^{50}$ o similar, calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$ i busca-hi un patró. Sempre n'hi ha un; ningú no espera que facis cinquanta multiplicacions.

Per a matrius $2\times2$ no cal fer tot el mètode de la matriu adjunta. Hi ha una drecera:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

És a dir: s'intercanvien els elements de la diagonal principal, es canvia el signe als de l'altra diagonal, i es divideix tot pel determinant.

Pas 1 — el determinant:

$|A| = (0)(3) - (4)(4) = -16$

Com que no val zero, la inversa existeix.

Pas 2 — aplicar la fórmula:

$A^{-1} = \frac{1}{-16}\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ -4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3/16 & 1/4 \\ 1/4 & 0 \end{pmatrix}$

L'element demanat és $- \frac{3}{16} \approx -0.1875$.

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $1$ i columna $1$ surt de creuar la fila $1$ de $A$ amb la columna $1$ de $B$.

• Fila $1$ de $A$: $(-1, 2)$
• Columna $1$ de $B$: $(4, -1)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(-1)(4) + (2)(-1) = -4 - 2 = -6$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($1$, $1$) tenim $a = -2$ i $b = 3$:

$4 \cdot (-2) + 1 \cdot 3 = -8 + 3 = -5$

$A^{3}$ no vol dir elevar cada element a $3$. Vol dir multiplicar la matriu per ella mateixa $3$ vegades, amb la regla de files per columnes.

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$, columna $1$ és $5$.

Consell d'examen: quan et demanin $A^{50}$ o similar, calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$ i busca-hi un patró. Sempre n'hi ha un; ningú no espera que facis cinquanta multiplicacions.

Per a matrius $2\times2$ no cal fer tot el mètode de la matriu adjunta. Hi ha una drecera:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

És a dir: s'intercanvien els elements de la diagonal principal, es canvia el signe als de l'altra diagonal, i es divideix tot pel determinant.

Pas 1 — el determinant:

$|A| = (-2)(2) - (3)(-1) = -1$

Com que no val zero, la inversa existeix.

Pas 2 — aplicar la fórmula:

$A^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

L'element demanat és $-1$.

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $2$ i columna $1$ surt de creuar la fila $2$ de $A$ amb la columna $1$ de $B$.

• Fila $2$ de $A$: $(3, -1)$
• Columna $1$ de $B$: $(0, 5)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(3)(0) + (-1)(5) = 0 - 5 = -5$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($2$, $1$) tenim $a = 1$ i $b = -3$:

$4 \cdot 1 - 2 \cdot (-3) = 4 + 6 = 10$

$A^{2}$ no vol dir elevar cada element a $2$. Vol dir multiplicar la matriu per ella mateixa $2$ vegades, amb la regla de files per columnes.

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 8 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$, columna $1$ és $-1$.

Consell d'examen: quan et demanin $A^{50}$ o similar, calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$ i busca-hi un patró. Sempre n'hi ha un; ningú no espera que facis cinquanta multiplicacions.

Per a matrius $2\times2$ no cal fer tot el mètode de la matriu adjunta. Hi ha una drecera:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

És a dir: s'intercanvien els elements de la diagonal principal, es canvia el signe als de l'altra diagonal, i es divideix tot pel determinant.

Pas 1 — el determinant:

$|A| = (4)(-3) - (0)(-1) = -12$

Com que no val zero, la inversa existeix.

Pas 2 — aplicar la fórmula:

$A^{-1} = \frac{1}{-12}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/4 & 0 \\ -1/12 & -1/3 \end{pmatrix}$

L'element demanat és $0$.