Exercicis de matrius

$A^{2}$ no vol dir elevar cada element a $2$. Vol dir multiplicar la matriu per ella mateixa $2$ vegades, amb la regla de files per columnes.

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$, columna $2$ és $0$.

Consell d'examen: quan et demanin $A^{50}$ o similar, calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$ i busca-hi un patró. Sempre n'hi ha un; ningú no espera que facis cinquanta multiplicacions.

Per a matrius $2\times2$ no cal fer tot el mètode de la matriu adjunta. Hi ha una drecera:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

És a dir: s'intercanvien els elements de la diagonal principal, es canvia el signe als de l'altra diagonal, i es divideix tot pel determinant.

Pas 1 — el determinant:

$|A| = (2)(4) - (0)(-1) = 8$

Com que no val zero, la inversa existeix.

Pas 2 — aplicar la fórmula:

$A^{-1} = \frac{1}{8}\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 1/8 & 1/4 \end{pmatrix}$

L'element demanat és $0$.

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $2$ i columna $2$ surt de creuar la fila $2$ de $A$ amb la columna $2$ de $B$.

• Fila $2$ de $A$: $(4, -1)$
• Columna $2$ de $B$: $(4, -1)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(4)(4) + (-1)(-1) = 16 + 1 = 17$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($2$, $2$) tenim $a = -3$ i $b = -2$:

$2 \cdot (-3) + 3 \cdot (-2) = -6 - 6 = -12$

$A^{3}$ no vol dir elevar cada element a $3$. Vol dir multiplicar la matriu per ella mateixa $3$ vegades, amb la regla de files per columnes.

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$, columna $2$ és $1$.

Consell d'examen: quan et demanin $A^{50}$ o similar, calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$ i busca-hi un patró. Sempre n'hi ha un; ningú no espera que facis cinquanta multiplicacions.

Per a matrius $2\times2$ no cal fer tot el mètode de la matriu adjunta. Hi ha una drecera:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

És a dir: s'intercanvien els elements de la diagonal principal, es canvia el signe als de l'altra diagonal, i es divideix tot pel determinant.

Pas 1 — el determinant:

$|A| = (4)(-1) - (-2)(4) = 4$

Com que no val zero, la inversa existeix.

Pas 2 — aplicar la fórmula:

$A^{-1} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -4 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/4 & 1/2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

L'element demanat és $- \frac{1}{4} \approx -0.2500$.

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $1$ i columna $1$ surt de creuar la fila $1$ de $A$ amb la columna $1$ de $B$.

• Fila $1$ de $A$: $(-1, -4)$
• Columna $1$ de $B$: $(3, 5)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(-1)(3) + (-4)(5) = -3 - 20 = -23$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($1$, $1$) tenim $a = -1$ i $b = 2$:

$4 \cdot (-1) - 2 \cdot 2 = -4 - 4 = -8$

$A^{2}$ no vol dir elevar cada element a $2$. Vol dir multiplicar la matriu per ella mateixa $2$ vegades, amb la regla de files per columnes.

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 12 & 3 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$, columna $1$ és $12$.

Consell d'examen: quan et demanin $A^{50}$ o similar, calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$ i busca-hi un patró. Sempre n'hi ha un; ningú no espera que facis cinquanta multiplicacions.

Per a matrius $2\times2$ no cal fer tot el mètode de la matriu adjunta. Hi ha una drecera:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

És a dir: s'intercanvien els elements de la diagonal principal, es canvia el signe als de l'altra diagonal, i es divideix tot pel determinant.

Pas 1 — el determinant:

$|A| = (-3)(-3) - (-1)(-1) = 8$

Com que no val zero, la inversa existeix.

Pas 2 — aplicar la fórmula:

$A^{-1} = \frac{1}{8}\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3/8 & 1/8 \\ 1/8 & -3/8 \end{pmatrix}$

L'element demanat és $\frac{1}{8} \approx 0.1250$.