Exercicis de matrius

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $2$ i columna $2$ surt de creuar la fila $2$ de $A$ amb la columna $2$ de $B$.

• Fila $2$ de $A$: $(-3, 4)$
• Columna $2$ de $B$: $(1, 3)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(-3)(1) + (4)(3) = -3 + 12 = 9$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($2$, $2$) tenim $a = 5$ i $b = 1$:

$3 \cdot 5 + 3 \cdot 1 = 15 + 3 = 18$

$A^{3}$ no vol dir elevar cada element a $3$. Vol dir multiplicar la matriu per ella mateixa $3$ vegades, amb la regla de files per columnes.

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 8 & 4 \end{pmatrix}$

$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} -8 & 0 \\ -24 & -8 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$, columna $2$ és $-8$.

Consell d'examen: quan et demanin $A^{50}$ o similar, calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$ i busca-hi un patró. Sempre n'hi ha un; ningú no espera que facis cinquanta multiplicacions.

Per a matrius $2\times2$ no cal fer tot el mètode de la matriu adjunta. Hi ha una drecera:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

És a dir: s'intercanvien els elements de la diagonal principal, es canvia el signe als de l'altra diagonal, i es divideix tot pel determinant.

Pas 1 — el determinant:

$|A| = (0)(-2) - (2)(-3) = 6$

Com que no val zero, la inversa existeix.

Pas 2 — aplicar la fórmula:

$A^{-1} = \frac{1}{6}\begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/3 & -1/3 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix}$

L'element demanat és $- \frac{1}{3} \approx -0.3333$.

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $1$ i columna $1$ surt de creuar la fila $1$ de $A$ amb la columna $1$ de $B$.

• Fila $1$ de $A$: $(0, 5)$
• Columna $1$ de $B$: $(-3, -3)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(0)(-3) + (5)(-3) = 0 - 15 = -15$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($1$, $1$) tenim $a = -3$ i $b = 1$:

$-1 \cdot (-3) + 3 \cdot 1 = 3 + 3 = 6$

$A^{2}$ no vol dir elevar cada element a $2$. Vol dir multiplicar la matriu per ella mateixa $2$ vegades, amb la regla de files per columnes.

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & -6 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$, columna $1$ és $2$.

Consell d'examen: quan et demanin $A^{50}$ o similar, calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$ i busca-hi un patró. Sempre n'hi ha un; ningú no espera que facis cinquanta multiplicacions.

Per a matrius $2\times2$ no cal fer tot el mètode de la matriu adjunta. Hi ha una drecera:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

És a dir: s'intercanvien els elements de la diagonal principal, es canvia el signe als de l'altra diagonal, i es divideix tot pel determinant.

Pas 1 — el determinant:

$|A| = (4)(-2) - (0)(-1) = -8$

Com que no val zero, la inversa existeix.

Pas 2 — aplicar la fórmula:

$A^{-1} = \frac{1}{-8}\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/4 & 0 \\ -1/8 & -1/2 \end{pmatrix}$

L'element demanat és $- \frac{1}{8} \approx -0.1250$.

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $2$ i columna $1$ surt de creuar la fila $2$ de $A$ amb la columna $1$ de $B$.

• Fila $2$ de $A$: $(4, 2)$
• Columna $1$ de $B$: $(5, -2)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(4)(5) + (2)(-2) = 20 - 4 = 16$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($2$, $1$) tenim $a = 5$ i $b = 2$:

$4 \cdot 5 + 3 \cdot 2 = 20 + 6 = 26$