Exercicis de matrius

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $2$ i columna $1$ surt de creuar la fila $2$ de $A$ amb la columna $1$ de $B$.

• Fila $2$ de $A$: $(-4, -4)$
• Columna $1$ de $B$: $(-2, -4)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(-4)(-2) + (-4)(-4) = 8 + 16 = 24$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($2$, $1$) tenim $a = 1$ i $b = 3$:

$-1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = -1 + 3 = 2$

$A^{3}$ no vol dir elevar cada element a $3$. Vol dir multiplicar la matriu per ella mateixa $3$ vegades, amb la regla de files per columnes.

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 6 & 15 \end{pmatrix}$

$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 5 & 26 \\ 39 & 57 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$, columna $1$ és $39$.

Consell d'examen: quan et demanin $A^{50}$ o similar, calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$ i busca-hi un patró. Sempre n'hi ha un; ningú no espera que facis cinquanta multiplicacions.

Per a matrius $2\times2$ no cal fer tot el mètode de la matriu adjunta. Hi ha una drecera:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

És a dir: s'intercanvien els elements de la diagonal principal, es canvia el signe als de l'altra diagonal, i es divideix tot pel determinant.

Pas 1 — el determinant:

$|A| = (0)(1) - (1)(4) = -4$

Com que no val zero, la inversa existeix.

Pas 2 — aplicar la fórmula:

$A^{-1} = \frac{1}{-4}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/4 & 1/4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

L'element demanat és $\frac{1}{4} \approx 0.2500$.

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $1$ i columna $2$ surt de creuar la fila $1$ de $A$ amb la columna $2$ de $B$.

• Fila $1$ de $A$: $(-2, 4)$
• Columna $2$ de $B$: $(4, 1)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(-2)(4) + (4)(1) = -8 + 4 = -4$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($1$, $2$) tenim $a = -3$ i $b = 4$:

$3 \cdot (-3) + 1 \cdot 4 = -9 + 4 = -5$

$A^{3}$ no vol dir elevar cada element a $3$. Vol dir multiplicar la matriu per ella mateixa $3$ vegades, amb la regla de files per columnes.

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$

$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$, columna $2$ és $-2$.

Consell d'examen: quan et demanin $A^{50}$ o similar, calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$ i busca-hi un patró. Sempre n'hi ha un; ningú no espera que facis cinquanta multiplicacions.

Per a matrius $2\times2$ no cal fer tot el mètode de la matriu adjunta. Hi ha una drecera:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

És a dir: s'intercanvien els elements de la diagonal principal, es canvia el signe als de l'altra diagonal, i es divideix tot pel determinant.

Pas 1 — el determinant:

$|A| = (-3)(3) - (-1)(-3) = -12$

Com que no val zero, la inversa existeix.

Pas 2 — aplicar la fórmula:

$A^{-1} = \frac{1}{-12}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/4 & -1/12 \\ -1/4 & 1/4 \end{pmatrix}$

L'element demanat és $\frac{1}{4} \approx 0.2500$.

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $2$ i columna $2$ surt de creuar la fila $2$ de $A$ amb la columna $2$ de $B$.

• Fila $2$ de $A$: $(-3, -1)$
• Columna $2$ de $B$: $(0, 1)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(-3)(0) + (-1)(1) = 0 - 1 = -1$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($2$, $2$) tenim $a = 1$ i $b = -3$:

$4 \cdot 1 - 2 \cdot (-3) = 4 + 6 = 10$