Exercicis de matrius

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $1$ i columna $2$ surt de creuar la fila $1$ de $A$ amb la columna $2$ de $B$.

• Fila $1$ de $A$: $(-1, -1)$
• Columna $2$ de $B$: $(2, -2)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(-1)(2) + (-1)(-2) = -2 + 2 = 0$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($1$, $2$) tenim $a = 4$ i $b = 5$:

$4 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 16 + 15 = 31$

$A^{2}$ no vol dir elevar cada element a $2$. Vol dir multiplicar la matriu per ella mateixa $2$ vegades, amb la regla de files per columnes.

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$, columna $2$ és $0$.

Consell d'examen: quan et demanin $A^{50}$ o similar, calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$ i busca-hi un patró. Sempre n'hi ha un; ningú no espera que facis cinquanta multiplicacions.

Per a matrius $2\times2$ no cal fer tot el mètode de la matriu adjunta. Hi ha una drecera:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

És a dir: s'intercanvien els elements de la diagonal principal, es canvia el signe als de l'altra diagonal, i es divideix tot pel determinant.

Pas 1 — el determinant:

$|A| = (0)(-3) - (1)(3) = -3$

Com que no val zero, la inversa existeix.

Pas 2 — aplicar la fórmula:

$A^{-1} = \frac{1}{-3}\begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1/3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

L'element demanat és $0$.

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $2$ i columna $2$ surt de creuar la fila $2$ de $A$ amb la columna $2$ de $B$.

• Fila $2$ de $A$: $(2, 2)$
• Columna $2$ de $B$: $(5, 4)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(2)(5) + (2)(4) = 10 + 8 = 18$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($2$, $2$) tenim $a = -1$ i $b = 5$:

$2 \cdot (-1) + 3 \cdot 5 = -2 + 15 = 13$

$A^{3}$ no vol dir elevar cada element a $3$. Vol dir multiplicar la matriu per ella mateixa $3$ vegades, amb la regla de files per columnes.

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} -6 & 0 \\ 0 & -6 \end{pmatrix}$

$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -18 \\ 12 & 0 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$, columna $2$ és $0$.

Consell d'examen: quan et demanin $A^{50}$ o similar, calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$ i busca-hi un patró. Sempre n'hi ha un; ningú no espera que facis cinquanta multiplicacions.

Per a matrius $2\times2$ no cal fer tot el mètode de la matriu adjunta. Hi ha una drecera:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

És a dir: s'intercanvien els elements de la diagonal principal, es canvia el signe als de l'altra diagonal, i es divideix tot pel determinant.

Pas 1 — el determinant:

$|A| = (-1)(-3) - (0)(-1) = 3$

Com que no val zero, la inversa existeix.

Pas 2 — aplicar la fórmula:

$A^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1/3 & -1/3 \end{pmatrix}$

L'element demanat és $-1$.

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $1$ i columna $1$ surt de creuar la fila $1$ de $A$ amb la columna $1$ de $B$.

• Fila $1$ de $A$: $(-3, -4)$
• Columna $1$ de $B$: $(-1, -3)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(-3)(-1) + (-4)(-3) = 3 + 12 = 15$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($1$, $1$) tenim $a = 1$ i $b = 3$:

$2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 2 + 3 = 5$