Exercicis de matrius

$A^{3}$ no vol dir elevar cada element a $3$. Vol dir multiplicar la matriu per ella mateixa $3$ vegades, amb la regla de files per columnes.

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 8 & -6 \\ -6 & 5 \end{pmatrix}$

$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} -28 & 22 \\ 22 & -17 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$, columna $2$ és $22$.

Consell d'examen: quan et demanin $A^{50}$ o similar, calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$ i busca-hi un patró. Sempre n'hi ha un; ningú no espera que facis cinquanta multiplicacions.

Per a matrius $2\times2$ no cal fer tot el mètode de la matriu adjunta. Hi ha una drecera:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

És a dir: s'intercanvien els elements de la diagonal principal, es canvia el signe als de l'altra diagonal, i es divideix tot pel determinant.

Pas 1 — el determinant:

$|A| = (1)(3) - (3)(-1) = 6$

Com que no val zero, la inversa existeix.

Pas 2 — aplicar la fórmula:

$A^{-1} = \frac{1}{6}\begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 \\ 1/6 & 1/6 \end{pmatrix}$

L'element demanat és $\frac{1}{6} \approx 0.1667$.

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $2$ i columna $2$ surt de creuar la fila $2$ de $A$ amb la columna $2$ de $B$.

• Fila $2$ de $A$: $(-4, -3)$
• Columna $2$ de $B$: $(3, 0)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(-4)(3) + (-3)(0) = -12 + 0 = -12$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($2$, $2$) tenim $a = 1$ i $b = -3$:

$-1 \cdot 1 + 1 \cdot (-3) = -1 - 3 = -4$

$A^{3}$ no vol dir elevar cada element a $3$. Vol dir multiplicar la matriu per ella mateixa $3$ vegades, amb la regla de files per columnes.

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$

$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -1 & -6 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$, columna $2$ és $-6$.

Consell d'examen: quan et demanin $A^{50}$ o similar, calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$ i busca-hi un patró. Sempre n'hi ha un; ningú no espera que facis cinquanta multiplicacions.

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $1$ i columna $1$ surt de creuar la fila $1$ de $A$ amb la columna $1$ de $B$.

• Fila $1$ de $A$: $(-1, -1)$
• Columna $1$ de $B$: $(2, -2)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(-1)(2) + (-1)(-2) = -2 + 2 = 0$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($1$, $1$) tenim $a = 5$ i $b = -2$:

$4 \cdot 5 - 2 \cdot (-2) = 20 + 4 = 24$

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $2$ i columna $1$ surt de creuar la fila $2$ de $A$ amb la columna $1$ de $B$.

• Fila $2$ de $A$: $(-3, 3)$
• Columna $1$ de $B$: $(0, 2)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(-3)(0) + (3)(2) = 0 + 6 = 6$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($2$, $1$) tenim $a = 5$ i $b = 2$:

$-1 \cdot 5 + 1 \cdot 2 = -5 + 2 = -3$

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $1$ i columna $2$ surt de creuar la fila $1$ de $A$ amb la columna $2$ de $B$.

• Fila $1$ de $A$: $(4, -3)$
• Columna $2$ de $B$: $(-4, 2)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(4)(-4) + (-3)(2) = -16 - 6 = -22$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.