Simulacre d'examen de matrius

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $1$ i columna $1$ surt de creuar la fila $1$ de $A$ amb la columna $1$ de $B$.

• Fila $1$ de $A$: $(-3, -3)$
• Columna $1$ de $B$: $(-3, -4)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(-3)(-3) + (-3)(-4) = 9 + 12 = 21$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $2$ i columna $2$ surt de creuar la fila $2$ de $A$ amb la columna $2$ de $B$.

• Fila $2$ de $A$: $(4, -1)$
• Columna $2$ de $B$: $(4, -1)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(4)(4) + (-1)(-1) = 16 + 1 = 17$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

$A^{3}$ no vol dir elevar cada element a $3$. Vol dir multiplicar la matriu per ella mateixa $3$ vegades, amb la regla de files per columnes.

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$

$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$, columna $2$ és $-2$.

Consell d'examen: quan et demanin $A^{50}$ o similar, calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$ i busca-hi un patró. Sempre n'hi ha un; ningú no espera que facis cinquanta multiplicacions.

$A^{2}$ no vol dir elevar cada element a $2$. Vol dir multiplicar la matriu per ella mateixa $2$ vegades, amb la regla de files per columnes.

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 8 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $2$, columna $1$ és $-1$.

Consell d'examen: quan et demanin $A^{50}$ o similar, calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$ i busca-hi un patró. Sempre n'hi ha un; ningú no espera que facis cinquanta multiplicacions.

Per a matrius $2\times2$ no cal fer tot el mètode de la matriu adjunta. Hi ha una drecera:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

És a dir: s'intercanvien els elements de la diagonal principal, es canvia el signe als de l'altra diagonal, i es divideix tot pel determinant.

Pas 1 — el determinant:

$|A| = (0)(-1) - (3)(3) = -9$

Com que no val zero, la inversa existeix.

Pas 2 — aplicar la fórmula:

$A^{-1} = \frac{1}{-9}\begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/9 & 1/3 \\ 1/3 & 0 \end{pmatrix}$

L'element demanat és $\frac{1}{3} \approx 0.3333$.

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $1$ i columna $1$ surt de creuar la fila $1$ de $A$ amb la columna $1$ de $B$.

• Fila $1$ de $A$: $(0, 5)$
• Columna $1$ de $B$: $(-3, -3)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(0)(-3) + (5)(-3) = 0 - 15 = -15$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

Per calcular un sol element del producte no cal fer tota la multiplicació. L'element de la fila $2$ i columna $2$ surt de creuar la fila $2$ de $A$ amb la columna $2$ de $B$.

• Fila $2$ de $A$: $(1, -4)$
• Columna $2$ de $B$: $(-1, 3)$

Es multipliquen terme a terme i se sumen:

$(1)(-1) + (-4)(3) = -1 - 12 = -13$

Recorda que el producte de matrius no és commutatiu: $A\cdot B$ i $B\cdot A$ solen donar coses diferents.

$A^{3}$ no vol dir elevar cada element a $3$. Vol dir multiplicar la matriu per ella mateixa $3$ vegades, amb la regla de files per columnes.

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 8 & -6 \\ -6 & 5 \end{pmatrix}$

$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} -28 & 22 \\ 22 & -17 \end{pmatrix}$

L'element de la fila $1$, columna $2$ és $22$.

Consell d'examen: quan et demanin $A^{50}$ o similar, calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$ i busca-hi un patró. Sempre n'hi ha un; ningú no espera que facis cinquanta multiplicacions.

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($1$, $1$) tenim $a = -3$ i $b = 0$:

$4 \cdot (-3) - 2 \cdot 0 = -12 + 0 = -12$

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($1$, $2$) tenim $a = -3$ i $b = 4$:

$3 \cdot (-3) + 1 \cdot 4 = -9 + 4 = -5$

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($2$, $1$) tenim $a = 0$ i $b = -2$:

$4 \cdot 0 + 1 \cdot (-2) = 0 - 2 = -2$

Sumar i multiplicar per un número sí que es fa posició per posició. És el producte de matrius el que funciona diferent.

A la posició ($2$, $2$) tenim $a = 4$ i $b = -1$:

$-1 \cdot 4 + 1 \cdot (-1) = -4 - 1 = -5$