Exercicis de grups, homomorfismes i accions

El raonament. Sumar $1$ un total de $k$ vegades dona $k \cdot 1$, i volem el menor $k$ positiu que faci aquest producte múltiple de $6$. Això passa exactament quan

$k = \frac{n}{\gcd(a,n)} = \frac{6}{1} = 6$

Comprovació de Lagrange. L'ordre de l'element ha de dividir l'ordre del grup, que és $6$. I efectivament $6$ divideix $6$. Si el teu resultat no complís aquesta condició, seria erroni segur.

Quan l'element genera tot el grup. Això passa exactament quan el màxim comú divisor val $1$, és a dir quan $1$ i $6$ són coprimers. Aquí ho són, de manera que $1$ és un generador.

El criteri. Un element genera tot el grup cíclic si i només si el seu índex és coprimer amb l'ordre del grup. (Si no ho fos, l'ordre de l'element seria un divisor propi i només generaria un subgrup.)

El recompte és la funció d'Euler:

$\varphi(6) = 2$

Com es calcula. Factoritzant $6$ i aplicant la fórmula multiplicativa: per a cada primer $p$ que divideix $6$, es multiplica per $(1-1/p)$.

Per què importa. El nombre de generadors mesura de quantes maneres diferents pots «veure» el mateix grup cíclic com a generat per un element. I el mateix número apareix al teorema d'Euler de la teoria de nombres, perquè és l'ordre del grup d'unitats.

La relació òrbita-estabilitzador.

$|Gx| = \frac{|G|}{|G_x|} = \frac{6}{1} = 6$

D'on surt. És el teorema de Lagrange aplicat a l'estabilitzador: els elements del grup que porten el punt a un mateix lloc formen una classe lateral de l'estabilitzador, i totes les classes tenen la mateixa mida.

Una conseqüència immediata: la mida de qualsevol òrbita divideix l'ordre del grup. Si en un problema et surt una òrbita de mida que no divideix l'ordre, hi ha un error segur.

El cas extrem: si l'estabilitzador és trivial, l'òrbita té tants elements com el grup; si l'estabilitzador és tot el grup, l'òrbita és un sol punt (el punt és fix).

El raonament. Sumar $2$ un total de $k$ vegades dona $2k$, i volem el menor $k$ positiu que faci aquest producte múltiple de $6$. Això passa exactament quan

$k = \frac{n}{\gcd(a,n)} = \frac{6}{2} = 3$

Comprovació de Lagrange. L'ordre de l'element ha de dividir l'ordre del grup, que és $6$. I efectivament $3$ divideix $6$. Si el teu resultat no complís aquesta condició, seria erroni segur.

Quan l'element genera tot el grup. Això passa exactament quan el màxim comú divisor val $1$, és a dir quan $2$ i $6$ són coprimers. Aquí no ho són, de manera que $2$ no genera tot el grup: només un subgrup de $3$ elements.

El criteri. Un element genera tot el grup cíclic si i només si el seu índex és coprimer amb l'ordre del grup. (Si no ho fos, l'ordre de l'element seria un divisor propi i només generaria un subgrup.)

El recompte és la funció d'Euler:

$\varphi(8) = 4$

Com es calcula. Factoritzant $8$ i aplicant la fórmula multiplicativa: per a cada primer $p$ que divideix $8$, es multiplica per $(1-1/p)$.

Per què importa. El nombre de generadors mesura de quantes maneres diferents pots «veure» el mateix grup cíclic com a generat per un element. I el mateix número apareix al teorema d'Euler de la teoria de nombres, perquè és l'ordre del grup d'unitats.

La relació òrbita-estabilitzador.

$|Gx| = \frac{|G|}{|G_x|} = \frac{6}{2} = 3$

D'on surt. És el teorema de Lagrange aplicat a l'estabilitzador: els elements del grup que porten el punt a un mateix lloc formen una classe lateral de l'estabilitzador, i totes les classes tenen la mateixa mida.

Una conseqüència immediata: la mida de qualsevol òrbita divideix l'ordre del grup. Si en un problema et surt una òrbita de mida que no divideix l'ordre, hi ha un error segur.

El cas extrem: si l'estabilitzador és trivial, l'òrbita té tants elements com el grup; si l'estabilitzador és tot el grup, l'òrbita és un sol punt (el punt és fix).

El raonament. Sumar $3$ un total de $k$ vegades dona $3k$, i volem el menor $k$ positiu que faci aquest producte múltiple de $6$. Això passa exactament quan

$k = \frac{n}{\gcd(a,n)} = \frac{6}{3} = 2$

Comprovació de Lagrange. L'ordre de l'element ha de dividir l'ordre del grup, que és $6$. I efectivament $2$ divideix $6$. Si el teu resultat no complís aquesta condició, seria erroni segur.

Quan l'element genera tot el grup. Això passa exactament quan el màxim comú divisor val $1$, és a dir quan $3$ i $6$ són coprimers. Aquí no ho són, de manera que $3$ no genera tot el grup: només un subgrup de $2$ elements.

El criteri. Un element genera tot el grup cíclic si i només si el seu índex és coprimer amb l'ordre del grup. (Si no ho fos, l'ordre de l'element seria un divisor propi i només generaria un subgrup.)

El recompte és la funció d'Euler:

$\varphi(9) = 6$

Com es calcula. Factoritzant $9$ i aplicant la fórmula multiplicativa: per a cada primer $p$ que divideix $9$, es multiplica per $(1-1/p)$.

Per què importa. El nombre de generadors mesura de quantes maneres diferents pots «veure» el mateix grup cíclic com a generat per un element. I el mateix número apareix al teorema d'Euler de la teoria de nombres, perquè és l'ordre del grup d'unitats.

La relació òrbita-estabilitzador.

$|Gx| = \frac{|G|}{|G_x|} = \frac{6}{3} = 2$

D'on surt. És el teorema de Lagrange aplicat a l'estabilitzador: els elements del grup que porten el punt a un mateix lloc formen una classe lateral de l'estabilitzador, i totes les classes tenen la mateixa mida.

Una conseqüència immediata: la mida de qualsevol òrbita divideix l'ordre del grup. Si en un problema et surt una òrbita de mida que no divideix l'ordre, hi ha un error segur.

El cas extrem: si l'estabilitzador és trivial, l'òrbita té tants elements com el grup; si l'estabilitzador és tot el grup, l'òrbita és un sol punt (el punt és fix).

El raonament. Sumar $4$ un total de $k$ vegades dona $4k$, i volem el menor $k$ positiu que faci aquest producte múltiple de $6$. Això passa exactament quan

$k = \frac{n}{\gcd(a,n)} = \frac{6}{2} = 3$

Comprovació de Lagrange. L'ordre de l'element ha de dividir l'ordre del grup, que és $6$. I efectivament $3$ divideix $6$. Si el teu resultat no complís aquesta condició, seria erroni segur.

Quan l'element genera tot el grup. Això passa exactament quan el màxim comú divisor val $1$, és a dir quan $4$ i $6$ són coprimers. Aquí no ho són, de manera que $4$ no genera tot el grup: només un subgrup de $3$ elements.