Exercicis de grups, homomorfismes i accions

El raonament. Sumar $3$ un total de $k$ vegades dona $3k$, i volem el menor $k$ positiu que faci aquest producte múltiple de $21$. Això passa exactament quan

$k = \frac{n}{\gcd(a,n)} = \frac{21}{3} = 7$

Comprovació de Lagrange. L'ordre de l'element ha de dividir l'ordre del grup, que és $21$. I efectivament $7$ divideix $21$. Si el teu resultat no complís aquesta condició, seria erroni segur.

Quan l'element genera tot el grup. Això passa exactament quan el màxim comú divisor val $1$, és a dir quan $3$ i $21$ són coprimers. Aquí no ho són, de manera que $3$ no genera tot el grup: només un subgrup de $7$ elements.

El raonament. Sumar $4$ un total de $k$ vegades dona $4k$, i volem el menor $k$ positiu que faci aquest producte múltiple de $21$. Això passa exactament quan

$k = \frac{n}{\gcd(a,n)} = \frac{21}{1} = 21$

Comprovació de Lagrange. L'ordre de l'element ha de dividir l'ordre del grup, que és $21$. I efectivament $21$ divideix $21$. Si el teu resultat no complís aquesta condició, seria erroni segur.

Quan l'element genera tot el grup. Això passa exactament quan el màxim comú divisor val $1$, és a dir quan $4$ i $21$ són coprimers. Aquí ho són, de manera que $4$ és un generador.

El raonament. Sumar $6$ un total de $k$ vegades dona $6k$, i volem el menor $k$ positiu que faci aquest producte múltiple de $21$. Això passa exactament quan

$k = \frac{n}{\gcd(a,n)} = \frac{21}{3} = 7$

Comprovació de Lagrange. L'ordre de l'element ha de dividir l'ordre del grup, que és $21$. I efectivament $7$ divideix $21$. Si el teu resultat no complís aquesta condició, seria erroni segur.

Quan l'element genera tot el grup. Això passa exactament quan el màxim comú divisor val $1$, és a dir quan $6$ i $21$ són coprimers. Aquí no ho són, de manera que $6$ no genera tot el grup: només un subgrup de $7$ elements.

El raonament. Sumar $1$ un total de $k$ vegades dona $k \cdot 1$, i volem el menor $k$ positiu que faci aquest producte múltiple de $25$. Això passa exactament quan

$k = \frac{n}{\gcd(a,n)} = \frac{25}{1} = 25$

Comprovació de Lagrange. L'ordre de l'element ha de dividir l'ordre del grup, que és $25$. I efectivament $25$ divideix $25$. Si el teu resultat no complís aquesta condició, seria erroni segur.

Quan l'element genera tot el grup. Això passa exactament quan el màxim comú divisor val $1$, és a dir quan $1$ i $25$ són coprimers. Aquí ho són, de manera que $1$ és un generador.

El raonament. Sumar $2$ un total de $k$ vegades dona $2k$, i volem el menor $k$ positiu que faci aquest producte múltiple de $25$. Això passa exactament quan

$k = \frac{n}{\gcd(a,n)} = \frac{25}{1} = 25$

Comprovació de Lagrange. L'ordre de l'element ha de dividir l'ordre del grup, que és $25$. I efectivament $25$ divideix $25$. Si el teu resultat no complís aquesta condició, seria erroni segur.

Quan l'element genera tot el grup. Això passa exactament quan el màxim comú divisor val $1$, és a dir quan $2$ i $25$ són coprimers. Aquí ho són, de manera que $2$ és un generador.

El raonament. Sumar $3$ un total de $k$ vegades dona $3k$, i volem el menor $k$ positiu que faci aquest producte múltiple de $25$. Això passa exactament quan

$k = \frac{n}{\gcd(a,n)} = \frac{25}{1} = 25$

Comprovació de Lagrange. L'ordre de l'element ha de dividir l'ordre del grup, que és $25$. I efectivament $25$ divideix $25$. Si el teu resultat no complís aquesta condició, seria erroni segur.

Quan l'element genera tot el grup. Això passa exactament quan el màxim comú divisor val $1$, és a dir quan $3$ i $25$ són coprimers. Aquí ho són, de manera que $3$ és un generador.

El raonament. Sumar $4$ un total de $k$ vegades dona $4k$, i volem el menor $k$ positiu que faci aquest producte múltiple de $25$. Això passa exactament quan

$k = \frac{n}{\gcd(a,n)} = \frac{25}{1} = 25$

Comprovació de Lagrange. L'ordre de l'element ha de dividir l'ordre del grup, que és $25$. I efectivament $25$ divideix $25$. Si el teu resultat no complís aquesta condició, seria erroni segur.

Quan l'element genera tot el grup. Això passa exactament quan el màxim comú divisor val $1$, és a dir quan $4$ i $25$ són coprimers. Aquí ho són, de manera que $4$ és un generador.

El raonament. Sumar $6$ un total de $k$ vegades dona $6k$, i volem el menor $k$ positiu que faci aquest producte múltiple de $25$. Això passa exactament quan

$k = \frac{n}{\gcd(a,n)} = \frac{25}{1} = 25$

Comprovació de Lagrange. L'ordre de l'element ha de dividir l'ordre del grup, que és $25$. I efectivament $25$ divideix $25$. Si el teu resultat no complís aquesta condició, seria erroni segur.

Quan l'element genera tot el grup. Això passa exactament quan el màxim comú divisor val $1$, és a dir quan $6$ i $25$ són coprimers. Aquí ho són, de manera que $6$ és un generador.

El raonament. Sumar $1$ un total de $k$ vegades dona $k \cdot 1$, i volem el menor $k$ positiu que faci aquest producte múltiple de $27$. Això passa exactament quan

$k = \frac{n}{\gcd(a,n)} = \frac{27}{1} = 27$

Comprovació de Lagrange. L'ordre de l'element ha de dividir l'ordre del grup, que és $27$. I efectivament $27$ divideix $27$. Si el teu resultat no complís aquesta condició, seria erroni segur.

Quan l'element genera tot el grup. Això passa exactament quan el màxim comú divisor val $1$, és a dir quan $1$ i $27$ són coprimers. Aquí ho són, de manera que $1$ és un generador.

El raonament. Sumar $2$ un total de $k$ vegades dona $2k$, i volem el menor $k$ positiu que faci aquest producte múltiple de $27$. Això passa exactament quan

$k = \frac{n}{\gcd(a,n)} = \frac{27}{1} = 27$

Comprovació de Lagrange. L'ordre de l'element ha de dividir l'ordre del grup, que és $27$. I efectivament $27$ divideix $27$. Si el teu resultat no complís aquesta condició, seria erroni segur.

Quan l'element genera tot el grup. Això passa exactament quan el màxim comú divisor val $1$, és a dir quan $2$ i $27$ són coprimers. Aquí ho són, de manera que $2$ és un generador.