Exercicis de grups, homomorfismes i accions

El raonament. Sumar $2$ un total de $k$ vegades dona $2k$, i volem el menor $k$ positiu que faci aquest producte múltiple de $15$. Això passa exactament quan

$k = \frac{n}{\gcd(a,n)} = \frac{15}{1} = 15$

Comprovació de Lagrange. L'ordre de l'element ha de dividir l'ordre del grup, que és $15$. I efectivament $15$ divideix $15$. Si el teu resultat no complís aquesta condició, seria erroni segur.

Quan l'element genera tot el grup. Això passa exactament quan el màxim comú divisor val $1$, és a dir quan $2$ i $15$ són coprimers. Aquí ho són, de manera que $2$ és un generador.

La relació òrbita-estabilitzador.

$|Gx| = \frac{|G|}{|G_x|} = \frac{20}{2} = 10$

D'on surt. És el teorema de Lagrange aplicat a l'estabilitzador: els elements del grup que porten el punt a un mateix lloc formen una classe lateral de l'estabilitzador, i totes les classes tenen la mateixa mida.

Una conseqüència immediata: la mida de qualsevol òrbita divideix l'ordre del grup. Si en un problema et surt una òrbita de mida que no divideix l'ordre, hi ha un error segur.

El cas extrem: si l'estabilitzador és trivial, l'òrbita té tants elements com el grup; si l'estabilitzador és tot el grup, l'òrbita és un sol punt (el punt és fix).

El raonament. Sumar $3$ un total de $k$ vegades dona $3k$, i volem el menor $k$ positiu que faci aquest producte múltiple de $15$. Això passa exactament quan

$k = \frac{n}{\gcd(a,n)} = \frac{15}{3} = 5$

Comprovació de Lagrange. L'ordre de l'element ha de dividir l'ordre del grup, que és $15$. I efectivament $5$ divideix $15$. Si el teu resultat no complís aquesta condició, seria erroni segur.

Quan l'element genera tot el grup. Això passa exactament quan el màxim comú divisor val $1$, és a dir quan $3$ i $15$ són coprimers. Aquí no ho són, de manera que $3$ no genera tot el grup: només un subgrup de $5$ elements.

La relació òrbita-estabilitzador.

$|Gx| = \frac{|G|}{|G_x|} = \frac{20}{4} = 5$

D'on surt. És el teorema de Lagrange aplicat a l'estabilitzador: els elements del grup que porten el punt a un mateix lloc formen una classe lateral de l'estabilitzador, i totes les classes tenen la mateixa mida.

Una conseqüència immediata: la mida de qualsevol òrbita divideix l'ordre del grup. Si en un problema et surt una òrbita de mida que no divideix l'ordre, hi ha un error segur.

El cas extrem: si l'estabilitzador és trivial, l'òrbita té tants elements com el grup; si l'estabilitzador és tot el grup, l'òrbita és un sol punt (el punt és fix).

El raonament. Sumar $4$ un total de $k$ vegades dona $4k$, i volem el menor $k$ positiu que faci aquest producte múltiple de $15$. Això passa exactament quan

$k = \frac{n}{\gcd(a,n)} = \frac{15}{1} = 15$

Comprovació de Lagrange. L'ordre de l'element ha de dividir l'ordre del grup, que és $15$. I efectivament $15$ divideix $15$. Si el teu resultat no complís aquesta condició, seria erroni segur.

Quan l'element genera tot el grup. Això passa exactament quan el màxim comú divisor val $1$, és a dir quan $4$ i $15$ són coprimers. Aquí ho són, de manera que $4$ és un generador.

La relació òrbita-estabilitzador.

$|Gx| = \frac{|G|}{|G_x|} = \frac{60}{1} = 60$

D'on surt. És el teorema de Lagrange aplicat a l'estabilitzador: els elements del grup que porten el punt a un mateix lloc formen una classe lateral de l'estabilitzador, i totes les classes tenen la mateixa mida.

Una conseqüència immediata: la mida de qualsevol òrbita divideix l'ordre del grup. Si en un problema et surt una òrbita de mida que no divideix l'ordre, hi ha un error segur.

El cas extrem: si l'estabilitzador és trivial, l'òrbita té tants elements com el grup; si l'estabilitzador és tot el grup, l'òrbita és un sol punt (el punt és fix).

El raonament. Sumar $6$ un total de $k$ vegades dona $6k$, i volem el menor $k$ positiu que faci aquest producte múltiple de $15$. Això passa exactament quan

$k = \frac{n}{\gcd(a,n)} = \frac{15}{3} = 5$

Comprovació de Lagrange. L'ordre de l'element ha de dividir l'ordre del grup, que és $15$. I efectivament $5$ divideix $15$. Si el teu resultat no complís aquesta condició, seria erroni segur.

Quan l'element genera tot el grup. Això passa exactament quan el màxim comú divisor val $1$, és a dir quan $6$ i $15$ són coprimers. Aquí no ho són, de manera que $6$ no genera tot el grup: només un subgrup de $5$ elements.

La relació òrbita-estabilitzador.

$|Gx| = \frac{|G|}{|G_x|} = \frac{60}{2} = 30$

D'on surt. És el teorema de Lagrange aplicat a l'estabilitzador: els elements del grup que porten el punt a un mateix lloc formen una classe lateral de l'estabilitzador, i totes les classes tenen la mateixa mida.

Una conseqüència immediata: la mida de qualsevol òrbita divideix l'ordre del grup. Si en un problema et surt una òrbita de mida que no divideix l'ordre, hi ha un error segur.

El cas extrem: si l'estabilitzador és trivial, l'òrbita té tants elements com el grup; si l'estabilitzador és tot el grup, l'òrbita és un sol punt (el punt és fix).

El raonament. Sumar $1$ un total de $k$ vegades dona $k \cdot 1$, i volem el menor $k$ positiu que faci aquest producte múltiple de $16$. Això passa exactament quan

$k = \frac{n}{\gcd(a,n)} = \frac{16}{1} = 16$

Comprovació de Lagrange. L'ordre de l'element ha de dividir l'ordre del grup, que és $16$. I efectivament $16$ divideix $16$. Si el teu resultat no complís aquesta condició, seria erroni segur.

Quan l'element genera tot el grup. Això passa exactament quan el màxim comú divisor val $1$, és a dir quan $1$ i $16$ són coprimers. Aquí ho són, de manera que $1$ és un generador.

La relació òrbita-estabilitzador.

$|Gx| = \frac{|G|}{|G_x|} = \frac{60}{3} = 20$

D'on surt. És el teorema de Lagrange aplicat a l'estabilitzador: els elements del grup que porten el punt a un mateix lloc formen una classe lateral de l'estabilitzador, i totes les classes tenen la mateixa mida.

Una conseqüència immediata: la mida de qualsevol òrbita divideix l'ordre del grup. Si en un problema et surt una òrbita de mida que no divideix l'ordre, hi ha un error segur.

El cas extrem: si l'estabilitzador és trivial, l'òrbita té tants elements com el grup; si l'estabilitzador és tot el grup, l'òrbita és un sol punt (el punt és fix).