Exercicis de grups, homomorfismes i accions

El criteri. Un element genera tot el grup cíclic si i només si el seu índex és coprimer amb l'ordre del grup. (Si no ho fos, l'ordre de l'element seria un divisor propi i només generaria un subgrup.)

El recompte és la funció d'Euler:

$\varphi(10) = 4$

Com es calcula. Factoritzant $10$ i aplicant la fórmula multiplicativa: per a cada primer $p$ que divideix $10$, es multiplica per $(1-1/p)$.

Per què importa. El nombre de generadors mesura de quantes maneres diferents pots «veure» el mateix grup cíclic com a generat per un element. I el mateix número apareix al teorema d'Euler de la teoria de nombres, perquè és l'ordre del grup d'unitats.

La relació òrbita-estabilitzador.

$|Gx| = \frac{|G|}{|G_x|} = \frac{6}{6} = 1$

D'on surt. És el teorema de Lagrange aplicat a l'estabilitzador: els elements del grup que porten el punt a un mateix lloc formen una classe lateral de l'estabilitzador, i totes les classes tenen la mateixa mida.

Una conseqüència immediata: la mida de qualsevol òrbita divideix l'ordre del grup. Si en un problema et surt una òrbita de mida que no divideix l'ordre, hi ha un error segur.

El cas extrem: si l'estabilitzador és trivial, l'òrbita té tants elements com el grup; si l'estabilitzador és tot el grup, l'òrbita és un sol punt (el punt és fix).

El raonament. Sumar $1$ un total de $k$ vegades dona $k \cdot 1$, i volem el menor $k$ positiu que faci aquest producte múltiple de $8$. Això passa exactament quan

$k = \frac{n}{\gcd(a,n)} = \frac{8}{1} = 8$

Comprovació de Lagrange. L'ordre de l'element ha de dividir l'ordre del grup, que és $8$. I efectivament $8$ divideix $8$. Si el teu resultat no complís aquesta condició, seria erroni segur.

Quan l'element genera tot el grup. Això passa exactament quan el màxim comú divisor val $1$, és a dir quan $1$ i $8$ són coprimers. Aquí ho són, de manera que $1$ és un generador.

El criteri. Un element genera tot el grup cíclic si i només si el seu índex és coprimer amb l'ordre del grup. (Si no ho fos, l'ordre de l'element seria un divisor propi i només generaria un subgrup.)

El recompte és la funció d'Euler:

$\varphi(12) = 4$

Com es calcula. Factoritzant $12$ i aplicant la fórmula multiplicativa: per a cada primer $p$ que divideix $12$, es multiplica per $(1-1/p)$.

Per què importa. El nombre de generadors mesura de quantes maneres diferents pots «veure» el mateix grup cíclic com a generat per un element. I el mateix número apareix al teorema d'Euler de la teoria de nombres, perquè és l'ordre del grup d'unitats.

La relació òrbita-estabilitzador.

$|Gx| = \frac{|G|}{|G_x|} = \frac{8}{1} = 8$

D'on surt. És el teorema de Lagrange aplicat a l'estabilitzador: els elements del grup que porten el punt a un mateix lloc formen una classe lateral de l'estabilitzador, i totes les classes tenen la mateixa mida.

Una conseqüència immediata: la mida de qualsevol òrbita divideix l'ordre del grup. Si en un problema et surt una òrbita de mida que no divideix l'ordre, hi ha un error segur.

El cas extrem: si l'estabilitzador és trivial, l'òrbita té tants elements com el grup; si l'estabilitzador és tot el grup, l'òrbita és un sol punt (el punt és fix).

El raonament. Sumar $2$ un total de $k$ vegades dona $2k$, i volem el menor $k$ positiu que faci aquest producte múltiple de $8$. Això passa exactament quan

$k = \frac{n}{\gcd(a,n)} = \frac{8}{2} = 4$

Comprovació de Lagrange. L'ordre de l'element ha de dividir l'ordre del grup, que és $8$. I efectivament $4$ divideix $8$. Si el teu resultat no complís aquesta condició, seria erroni segur.

Quan l'element genera tot el grup. Això passa exactament quan el màxim comú divisor val $1$, és a dir quan $2$ i $8$ són coprimers. Aquí no ho són, de manera que $2$ no genera tot el grup: només un subgrup de $4$ elements.

El criteri. Un element genera tot el grup cíclic si i només si el seu índex és coprimer amb l'ordre del grup. (Si no ho fos, l'ordre de l'element seria un divisor propi i només generaria un subgrup.)

El recompte és la funció d'Euler:

$\varphi(15) = 8$

Com es calcula. Factoritzant $15$ i aplicant la fórmula multiplicativa: per a cada primer $p$ que divideix $15$, es multiplica per $(1-1/p)$.

Per què importa. El nombre de generadors mesura de quantes maneres diferents pots «veure» el mateix grup cíclic com a generat per un element. I el mateix número apareix al teorema d'Euler de la teoria de nombres, perquè és l'ordre del grup d'unitats.

La relació òrbita-estabilitzador.

$|Gx| = \frac{|G|}{|G_x|} = \frac{8}{2} = 4$

D'on surt. És el teorema de Lagrange aplicat a l'estabilitzador: els elements del grup que porten el punt a un mateix lloc formen una classe lateral de l'estabilitzador, i totes les classes tenen la mateixa mida.

Una conseqüència immediata: la mida de qualsevol òrbita divideix l'ordre del grup. Si en un problema et surt una òrbita de mida que no divideix l'ordre, hi ha un error segur.

El cas extrem: si l'estabilitzador és trivial, l'òrbita té tants elements com el grup; si l'estabilitzador és tot el grup, l'òrbita és un sol punt (el punt és fix).

El raonament. Sumar $3$ un total de $k$ vegades dona $3k$, i volem el menor $k$ positiu que faci aquest producte múltiple de $8$. Això passa exactament quan

$k = \frac{n}{\gcd(a,n)} = \frac{8}{1} = 8$

Comprovació de Lagrange. L'ordre de l'element ha de dividir l'ordre del grup, que és $8$. I efectivament $8$ divideix $8$. Si el teu resultat no complís aquesta condició, seria erroni segur.

Quan l'element genera tot el grup. Això passa exactament quan el màxim comú divisor val $1$, és a dir quan $3$ i $8$ són coprimers. Aquí ho són, de manera que $3$ és un generador.

El criteri. Un element genera tot el grup cíclic si i només si el seu índex és coprimer amb l'ordre del grup. (Si no ho fos, l'ordre de l'element seria un divisor propi i només generaria un subgrup.)

El recompte és la funció d'Euler:

$\varphi(16) = 8$

Com es calcula. Factoritzant $16$ i aplicant la fórmula multiplicativa: per a cada primer $p$ que divideix $16$, es multiplica per $(1-1/p)$.

Per què importa. El nombre de generadors mesura de quantes maneres diferents pots «veure» el mateix grup cíclic com a generat per un element. I el mateix número apareix al teorema d'Euler de la teoria de nombres, perquè és l'ordre del grup d'unitats.