Exercicis de potències, arrels i equacions amb complexos

Les potències de la unitat imaginària tenen un cicle de quatre:

$i^1 = i, \qquad i^2 = -1, \qquad i^3 = -i, \qquad i^4 = 1$

I a partir d'aquí es repeteix. Per tant només cal el residu de dividir l'exponent entre 4:

$2 = 4 \cdot 0 + 2$

El residu és $2$, i per tant $i^{2} = i^{2} = -1$.

La part real val $-1$.

Aquí és on es veu per què val la pena la forma polar: no cal desenvolupar la potència.

La fórmula de De Moivre diu que en elevar un complex a $n$, el mòdul s'eleva a $n$ i l'argument es multiplica per $n$:

$|z^n| = |z|^n$

El mòdul de $z$:

$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{10} \approx 3.1623$

Elevat a $2$:

$|z^{2}| = \left(\sqrt{10}\right)^{2} = 10$

Compara-ho amb desenvolupar $(-1 - 3i)^{2}$ a mà: molta més feina i moltes més ocasions d'equivocar-se.

Apliquem la fórmula de sempre:

$x = \frac{0 \pm \sqrt{0^2 - 4(1)}}{2} = \frac{0 \pm \sqrt{-4}}{2}$

El discriminant surt negatiu ($-4$). Als reals diríem que no té solució, però als complexos sí que en té: només cal treure el signe menys de dins de l'arrel.

$\sqrt{-4} = \sqrt{4} \cdot i = 2i$

$x = \frac{0 \pm 2i}{2} = \pm i$

Les dues solucions són conjugades: mateixa part real i part imaginària canviada de signe. Això passa sempre que els coeficients de l'equació són reals.

La part imaginària positiva és $1$.

Les potències de la unitat imaginària tenen un cicle de quatre:

$i^1 = i, \qquad i^2 = -1, \qquad i^3 = -i, \qquad i^4 = 1$

I a partir d'aquí es repeteix. Per tant només cal el residu de dividir l'exponent entre 4:

$3 = 4 \cdot 0 + 3$

El residu és $3$, i per tant $i^{3} = i^{3} = - i$.

La part imaginària val $-1$.

Aquí és on es veu per què val la pena la forma polar: no cal desenvolupar la potència.

La fórmula de De Moivre diu que en elevar un complex a $n$, el mòdul s'eleva a $n$ i l'argument es multiplica per $n$:

$|z^n| = |z|^n$

El mòdul de $z$:

$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{10} \approx 3.1623$

Elevat a $3$:

$|z^{3}| = \left(\sqrt{10}\right)^{3} \approx 31.6228$

Compara-ho amb desenvolupar $(-1 - 3i)^{3}$ a mà: molta més feina i moltes més ocasions d'equivocar-se.

Apliquem la fórmula de sempre:

$x = \frac{0 \pm \sqrt{0^2 - 4(2)}}{2} = \frac{0 \pm \sqrt{-8}}{2}$

El discriminant surt negatiu ($-8$). Als reals diríem que no té solució, però als complexos sí que en té: només cal treure el signe menys de dins de l'arrel.

$\sqrt{-8} = \sqrt{8} \cdot i \approx 2.8284\,i$

$x = \frac{0 \pm 2.8284\,i}{2} = \pm 1.4142\,i$

Les dues solucions són conjugades: mateixa part real i part imaginària canviada de signe. Això passa sempre que els coeficients de l'equació són reals.

La part imaginària positiva és $1.4142$.

Les potències de la unitat imaginària tenen un cicle de quatre:

$i^1 = i, \qquad i^2 = -1, \qquad i^3 = -i, \qquad i^4 = 1$

I a partir d'aquí es repeteix. Per tant només cal el residu de dividir l'exponent entre 4:

$4 = 4 \cdot 1 + 0$

El residu és $0$, i per tant $i^{4} = i^{0} = 1$.

La part real val $1$.

Aquí és on es veu per què val la pena la forma polar: no cal desenvolupar la potència.

La fórmula de De Moivre diu que en elevar un complex a $n$, el mòdul s'eleva a $n$ i l'argument es multiplica per $n$:

$|z^n| = |z|^n$

El mòdul de $z$:

$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{10} \approx 3.1623$

Elevat a $4$:

$|z^{4}| = \left(\sqrt{10}\right)^{4} = 100$

Compara-ho amb desenvolupar $(-1 - 3i)^{4}$ a mà: molta més feina i moltes més ocasions d'equivocar-se.

Apliquem la fórmula de sempre:

$x = \frac{0 \pm \sqrt{0^2 - 4(3)}}{2} = \frac{0 \pm \sqrt{-12}}{2}$

El discriminant surt negatiu ($-12$). Als reals diríem que no té solució, però als complexos sí que en té: només cal treure el signe menys de dins de l'arrel.

$\sqrt{-12} = \sqrt{12} \cdot i \approx 3.4641\,i$

$x = \frac{0 \pm 3.4641\,i}{2} = \pm 1.7321\,i$

Les dues solucions són conjugades: mateixa part real i part imaginària canviada de signe. Això passa sempre que els coeficients de l'equació són reals.

La part imaginària positiva és $1.7321$.

Les potències de la unitat imaginària tenen un cicle de quatre:

$i^1 = i, \qquad i^2 = -1, \qquad i^3 = -i, \qquad i^4 = 1$

I a partir d'aquí es repeteix. Per tant només cal el residu de dividir l'exponent entre 4:

$5 = 4 \cdot 1 + 1$

El residu és $1$, i per tant $i^{5} = i^{1} = i$.

La part imaginària val $1$.