Exercicis de potències, arrels i equacions amb complexos

Aquí és on es veu per què val la pena la forma polar: no cal desenvolupar la potència.

La fórmula de De Moivre diu que en elevar un complex a $n$, el mòdul s'eleva a $n$ i l'argument es multiplica per $n$:

$|z^n| = |z|^n$

El mòdul de $z$:

$|z| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} \approx 4.4721$

Elevat a $4$:

$|z^{4}| = \left(\sqrt{20}\right)^{4} = 400$

Compara-ho amb desenvolupar $(-4 - 2i)^{4}$ a mà: molta més feina i moltes més ocasions d'equivocar-se.

Les potències de la unitat imaginària tenen un cicle de quatre:

$i^1 = i, \qquad i^2 = -1, \qquad i^3 = -i, \qquad i^4 = 1$

I a partir d'aquí es repeteix. Per tant només cal el residu de dividir l'exponent entre 4:

$38 = 4 \cdot 9 + 2$

El residu és $2$, i per tant $i^{38} = i^{2} = -1$.

La part real val $-1$.

Aquí és on es veu per què val la pena la forma polar: no cal desenvolupar la potència.

La fórmula de De Moivre diu que en elevar un complex a $n$, el mòdul s'eleva a $n$ i l'argument es multiplica per $n$:

$|z^n| = |z|^n$

El mòdul de $z$:

$|z| = \sqrt{(4)^2 + (4)^2} = \sqrt{32} \approx 5.6569$

Elevat a $2$:

$|z^{2}| = \left(\sqrt{32}\right)^{2} = 32$

Compara-ho amb desenvolupar $(4 + 4i)^{2}$ a mà: molta més feina i moltes més ocasions d'equivocar-se.

Les potències de la unitat imaginària tenen un cicle de quatre:

$i^1 = i, \qquad i^2 = -1, \qquad i^3 = -i, \qquad i^4 = 1$

I a partir d'aquí es repeteix. Per tant només cal el residu de dividir l'exponent entre 4:

$39 = 4 \cdot 9 + 3$

El residu és $3$, i per tant $i^{39} = i^{3} = - i$.

La part imaginària val $-1$.

Aquí és on es veu per què val la pena la forma polar: no cal desenvolupar la potència.

La fórmula de De Moivre diu que en elevar un complex a $n$, el mòdul s'eleva a $n$ i l'argument es multiplica per $n$:

$|z^n| = |z|^n$

El mòdul de $z$:

$|z| = \sqrt{(4)^2 + (4)^2} = \sqrt{32} \approx 5.6569$

Elevat a $3$:

$|z^{3}| = \left(\sqrt{32}\right)^{3} \approx 181.0193$

Compara-ho amb desenvolupar $(4 + 4i)^{3}$ a mà: molta més feina i moltes més ocasions d'equivocar-se.

Les potències de la unitat imaginària tenen un cicle de quatre:

$i^1 = i, \qquad i^2 = -1, \qquad i^3 = -i, \qquad i^4 = 1$

I a partir d'aquí es repeteix. Per tant només cal el residu de dividir l'exponent entre 4:

$40 = 4 \cdot 10 + 0$

El residu és $0$, i per tant $i^{40} = i^{0} = 1$.

La part real val $1$.

Aquí és on es veu per què val la pena la forma polar: no cal desenvolupar la potència.

La fórmula de De Moivre diu que en elevar un complex a $n$, el mòdul s'eleva a $n$ i l'argument es multiplica per $n$:

$|z^n| = |z|^n$

El mòdul de $z$:

$|z| = \sqrt{(4)^2 + (4)^2} = \sqrt{32} \approx 5.6569$

Elevat a $4$:

$|z^{4}| = \left(\sqrt{32}\right)^{4} = 1024$

Compara-ho amb desenvolupar $(4 + 4i)^{4}$ a mà: molta més feina i moltes més ocasions d'equivocar-se.

Les potències de la unitat imaginària tenen un cicle de quatre:

$i^1 = i, \qquad i^2 = -1, \qquad i^3 = -i, \qquad i^4 = 1$

I a partir d'aquí es repeteix. Per tant només cal el residu de dividir l'exponent entre 4:

$41 = 4 \cdot 10 + 1$

El residu és $1$, i per tant $i^{41} = i^{1} = i$.

La part imaginària val $1$.

Aquí és on es veu per què val la pena la forma polar: no cal desenvolupar la potència.

La fórmula de De Moivre diu que en elevar un complex a $n$, el mòdul s'eleva a $n$ i l'argument es multiplica per $n$:

$|z^n| = |z|^n$

El mòdul de $z$:

$|z| = \sqrt{(1)^2 + (4)^2} = \sqrt{17} \approx 4.1231$

Elevat a $2$:

$|z^{2}| = \left(\sqrt{17}\right)^{2} = 17$

Compara-ho amb desenvolupar $(1 + 4i)^{2}$ a mà: molta més feina i moltes més ocasions d'equivocar-se.

Les potències de la unitat imaginària tenen un cicle de quatre:

$i^1 = i, \qquad i^2 = -1, \qquad i^3 = -i, \qquad i^4 = 1$

I a partir d'aquí es repeteix. Per tant només cal el residu de dividir l'exponent entre 4:

$42 = 4 \cdot 10 + 2$

El residu és $2$, i per tant $i^{42} = i^{2} = -1$.

La part real val $-1$.