Exercicis de potències, arrels i equacions amb complexos

Les potències de la unitat imaginària tenen un cicle de quatre:

$i^1 = i, \qquad i^2 = -1, \qquad i^3 = -i, \qquad i^4 = 1$

I a partir d'aquí es repeteix. Per tant només cal el residu de dividir l'exponent entre 4:

$12 = 4 \cdot 3 + 0$

El residu és $0$, i per tant $i^{12} = i^{0} = 1$.

La part real val $1$.

Aquí és on es veu per què val la pena la forma polar: no cal desenvolupar la potència.

La fórmula de De Moivre diu que en elevar un complex a $n$, el mòdul s'eleva a $n$ i l'argument es multiplica per $n$:

$|z^n| = |z|^n$

El mòdul de $z$:

$|z| = \sqrt{(2)^2 + (3)^2} = \sqrt{13} \approx 3.6056$

Elevat a $3$:

$|z^{3}| = \left(\sqrt{13}\right)^{3} \approx 46.8722$

Compara-ho amb desenvolupar $(2 + 3i)^{3}$ a mà: molta més feina i moltes més ocasions d'equivocar-se.

Apliquem la fórmula de sempre:

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(8)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-28}}{2}$

El discriminant surt negatiu ($-28$). Als reals diríem que no té solució, però als complexos sí que en té: només cal treure el signe menys de dins de l'arrel.

$\sqrt{-28} = \sqrt{28} \cdot i \approx 5.2915\,i$

$x = \frac{-2 \pm 5.2915\,i}{2} = -1 \pm 2.6458\,i$

Les dues solucions són conjugades: mateixa part real i part imaginària canviada de signe. Això passa sempre que els coeficients de l'equació són reals.

La part imaginària positiva és $2.6458$.

Les potències de la unitat imaginària tenen un cicle de quatre:

$i^1 = i, \qquad i^2 = -1, \qquad i^3 = -i, \qquad i^4 = 1$

I a partir d'aquí es repeteix. Per tant només cal el residu de dividir l'exponent entre 4:

$13 = 4 \cdot 3 + 1$

El residu és $1$, i per tant $i^{13} = i^{1} = i$.

La part imaginària val $1$.

Aquí és on es veu per què val la pena la forma polar: no cal desenvolupar la potència.

La fórmula de De Moivre diu que en elevar un complex a $n$, el mòdul s'eleva a $n$ i l'argument es multiplica per $n$:

$|z^n| = |z|^n$

El mòdul de $z$:

$|z| = \sqrt{(2)^2 + (3)^2} = \sqrt{13} \approx 3.6056$

Elevat a $4$:

$|z^{4}| = \left(\sqrt{13}\right)^{4} = 169$

Compara-ho amb desenvolupar $(2 + 3i)^{4}$ a mà: molta més feina i moltes més ocasions d'equivocar-se.

Apliquem la fórmula de sempre:

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(10)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-36}}{2}$

El discriminant surt negatiu ($-36$). Als reals diríem que no té solució, però als complexos sí que en té: només cal treure el signe menys de dins de l'arrel.

$\sqrt{-36} = \sqrt{36} \cdot i = 6i$

$x = \frac{-2 \pm 6i}{2} = -1 \pm 3i$

Les dues solucions són conjugades: mateixa part real i part imaginària canviada de signe. Això passa sempre que els coeficients de l'equació són reals.

La part imaginària positiva és $3$.

Les potències de la unitat imaginària tenen un cicle de quatre:

$i^1 = i, \qquad i^2 = -1, \qquad i^3 = -i, \qquad i^4 = 1$

I a partir d'aquí es repeteix. Per tant només cal el residu de dividir l'exponent entre 4:

$14 = 4 \cdot 3 + 2$

El residu és $2$, i per tant $i^{14} = i^{2} = -1$.

La part real val $-1$.

Aquí és on es veu per què val la pena la forma polar: no cal desenvolupar la potència.

La fórmula de De Moivre diu que en elevar un complex a $n$, el mòdul s'eleva a $n$ i l'argument es multiplica per $n$:

$|z^n| = |z|^n$

El mòdul de $z$:

$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (2)^2} = \sqrt{5} \approx 2.2361$

Elevat a $2$:

$|z^{2}| = \left(\sqrt{5}\right)^{2} = 5$

Compara-ho amb desenvolupar $(-1 + 2i)^{2}$ a mà: molta més feina i moltes més ocasions d'equivocar-se.

Apliquem la fórmula de sempre:

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(13)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-48}}{2}$

El discriminant surt negatiu ($-48$). Als reals diríem que no té solució, però als complexos sí que en té: només cal treure el signe menys de dins de l'arrel.

$\sqrt{-48} = \sqrt{48} \cdot i \approx 6.9282\,i$

$x = \frac{-2 \pm 6.9282\,i}{2} = -1 \pm 3.4641\,i$

Les dues solucions són conjugades: mateixa part real i part imaginària canviada de signe. Això passa sempre que els coeficients de l'equació són reals.

La part imaginària positiva és $3.4641$.

Les potències de la unitat imaginària tenen un cicle de quatre:

$i^1 = i, \qquad i^2 = -1, \qquad i^3 = -i, \qquad i^4 = 1$

I a partir d'aquí es repeteix. Per tant només cal el residu de dividir l'exponent entre 4:

$15 = 4 \cdot 3 + 3$

El residu és $3$, i per tant $i^{15} = i^{3} = - i$.

La part imaginària val $-1$.