Exercicis de potències, arrels i equacions amb complexos

Aquí és on es veu per què val la pena la forma polar: no cal desenvolupar la potència.

La fórmula de De Moivre diu que en elevar un complex a $n$, el mòdul s'eleva a $n$ i l'argument es multiplica per $n$:

$|z^n| = |z|^n$

El mòdul de $z$:

$|z| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5$

Elevat a $4$:

$|z^{4}| = \left(\sqrt{25}\right)^{4} = 625$

Compara-ho amb desenvolupar $(-3 - 4i)^{4}$ a mà: molta més feina i moltes més ocasions d'equivocar-se.

Apliquem la fórmula de sempre:

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(5)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2}$

El discriminant surt negatiu ($-4$). Als reals diríem que no té solució, però als complexos sí que en té: només cal treure el signe menys de dins de l'arrel.

$\sqrt{-4} = \sqrt{4} \cdot i = 2i$

$x = \frac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i$

Les dues solucions són conjugades: mateixa part real i part imaginària canviada de signe. Això passa sempre que els coeficients de l'equació són reals.

La part imaginària positiva és $1$.

Les potències de la unitat imaginària tenen un cicle de quatre:

$i^1 = i, \qquad i^2 = -1, \qquad i^3 = -i, \qquad i^4 = 1$

I a partir d'aquí es repeteix. Per tant només cal el residu de dividir l'exponent entre 4:

$26 = 4 \cdot 6 + 2$

El residu és $2$, i per tant $i^{26} = i^{2} = -1$.

La part real val $-1$.

Aquí és on es veu per què val la pena la forma polar: no cal desenvolupar la potència.

La fórmula de De Moivre diu que en elevar un complex a $n$, el mòdul s'eleva a $n$ i l'argument es multiplica per $n$:

$|z^n| = |z|^n$

El mòdul de $z$:

$|z| = \sqrt{(-3)^2 + (2)^2} = \sqrt{13} \approx 3.6056$

Elevat a $2$:

$|z^{2}| = \left(\sqrt{13}\right)^{2} = 13$

Compara-ho amb desenvolupar $(-3 + 2i)^{2}$ a mà: molta més feina i moltes més ocasions d'equivocar-se.

Apliquem la fórmula de sempre:

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(8)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-16}}{2}$

El discriminant surt negatiu ($-16$). Als reals diríem que no té solució, però als complexos sí que en té: només cal treure el signe menys de dins de l'arrel.

$\sqrt{-16} = \sqrt{16} \cdot i = 4i$

$x = \frac{4 \pm 4i}{2} = 2 \pm 2i$

Les dues solucions són conjugades: mateixa part real i part imaginària canviada de signe. Això passa sempre que els coeficients de l'equació són reals.

La part imaginària positiva és $2$.

Les potències de la unitat imaginària tenen un cicle de quatre:

$i^1 = i, \qquad i^2 = -1, \qquad i^3 = -i, \qquad i^4 = 1$

I a partir d'aquí es repeteix. Per tant només cal el residu de dividir l'exponent entre 4:

$27 = 4 \cdot 6 + 3$

El residu és $3$, i per tant $i^{27} = i^{3} = - i$.

La part imaginària val $-1$.

Aquí és on es veu per què val la pena la forma polar: no cal desenvolupar la potència.

La fórmula de De Moivre diu que en elevar un complex a $n$, el mòdul s'eleva a $n$ i l'argument es multiplica per $n$:

$|z^n| = |z|^n$

El mòdul de $z$:

$|z| = \sqrt{(-3)^2 + (2)^2} = \sqrt{13} \approx 3.6056$

Elevat a $3$:

$|z^{3}| = \left(\sqrt{13}\right)^{3} \approx 46.8722$

Compara-ho amb desenvolupar $(-3 + 2i)^{3}$ a mà: molta més feina i moltes més ocasions d'equivocar-se.

Apliquem la fórmula de sempre:

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(10)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-24}}{2}$

El discriminant surt negatiu ($-24$). Als reals diríem que no té solució, però als complexos sí que en té: només cal treure el signe menys de dins de l'arrel.

$\sqrt{-24} = \sqrt{24} \cdot i \approx 4.8990\,i$

$x = \frac{4 \pm 4.8990\,i}{2} = 2 \pm 2.4495\,i$

Les dues solucions són conjugades: mateixa part real i part imaginària canviada de signe. Això passa sempre que els coeficients de l'equació són reals.

La part imaginària positiva és $2.4495$.

Les potències de la unitat imaginària tenen un cicle de quatre:

$i^1 = i, \qquad i^2 = -1, \qquad i^3 = -i, \qquad i^4 = 1$

I a partir d'aquí es repeteix. Per tant només cal el residu de dividir l'exponent entre 4:

$28 = 4 \cdot 7 + 0$

El residu és $0$, i per tant $i^{28} = i^{0} = 1$.

La part real val $1$.

Aquí és on es veu per què val la pena la forma polar: no cal desenvolupar la potència.

La fórmula de De Moivre diu que en elevar un complex a $n$, el mòdul s'eleva a $n$ i l'argument es multiplica per $n$:

$|z^n| = |z|^n$

El mòdul de $z$:

$|z| = \sqrt{(-3)^2 + (2)^2} = \sqrt{13} \approx 3.6056$

Elevat a $4$:

$|z^{4}| = \left(\sqrt{13}\right)^{4} = 169$

Compara-ho amb desenvolupar $(-3 + 2i)^{4}$ a mà: molta més feina i moltes més ocasions d'equivocar-se.