Teorema de Pitàgores: hipotenusa, catets i diagonal espacial

⏱ 7 min de lecturaESO

Vols practicar? Aquest tema té 106 exercicis interactius de 4 tipus, de deu en deu, amb correcció immediata i explicació pas a pas.

Pitàgores és probablement el resultat més utilitzat de tota la geometria, i té una condició que no es pot saltar: el triangle ha de ser rectangle. Amb aquesta condició i sabent quin costat és la hipotenusa, la resta és aritmètica.

El que has de dominar abans: quadrats, arrels i triangles rectangles.

L'enunciat

En un triangle rectangle de catets $a$ i $b$ i hipotenusa $c$ :

c^{2} = a^{2} + b^{2}.

La hipotenusa és el costat oposat a l'angle recte, i és sempre el més llarg dels tres. Això és el que has d'identificar primer, abans de fer cap càlcul.

Sumar o restar

Si busques la hipotenusa, sumes:

c = \sqrt{a^{2}+b^{2}}.

Si busques un catet, restes:

a = \sqrt{c^{2}-b^{2}}.

Les longituds s'expressen amb l'arrel positiva: l'equació $a^{2} = 9$ té solucions $3$ i $-3$ , però una longitud no pot ser negativa.

El control que no falla: la hipotenusa ha de sortir més gran que cada catet. Si et surt una hipotenusa més petita que un catet, has sumat quan havies de restar o a l'inrevés.

El recíproc

El teorema també funciona cap enrere, i és molt útil:

Si en un triangle el costat més llarg compleix $c^{2} = a^{2}+b^{2}$ , el triangle és rectangle.

Això permet comprovar si un triangle és rectangle sense mesurar cap angle, només amb les longituds dels tres costats.

En problemes: dibuixa el triangle que necessites

Pitàgores gairebé mai no ve donat: el triangle rectangle s'ha de trobar dins de la figura. Pot ser una diagonal, una altura, la meitat d'un triangle isòsceles o una distància entre dos punts.

El pas que resol el problema és el dibuix, no el càlcul.

La diagonal espacial

En una capsa rectangular de costats $a$ , $b$ i $c$ , aplicant Pitàgores dues vegades (primer a la base, després al triangle vertical) surt

d = \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.

La hipotenusa no depèn de com està girat el dibuix

És fàcil assumir que la hipotenusa és el costat inclinat del dibuix o el de la dreta. No ho és: la hipotenusa és sempre el costat oposat a l'angle recte, sigui com sigui l'orientació de la figura.

I si el triangle no és rectangle, el teorema no s'aplica. No hi ha una versió de Pitàgores per a triangles qualssevol a l'ESO; a batxillerat hi ha el teorema del cosinus, que la generalitza.

El control de coherència amb un exemple. Una escala de $5$ m recolzada en una paret: l'escala és la hipotenusa, perquè l'angle recte és entre el terra i la paret. Si sumessis els quadrats de l'escala i de l'altura, obtindries una distància més gran que l'escala, cosa físicament impossible.

Triangle rectangle amb catets de quatre i tres unitats i hipotenusa de cinc, amb l'angle recte marcat amb un quadradet i la comprovació vint-i-cinc igual a setze més nou escrita a l'interior — La hipotenusa és **sempre** el costat oposat a l'angle recte, sigui com sigui l'orientació del dibuix.

Una escala recolzada a la paret

Una escala de $5$ m arriba a una altura de $4$ m en una paret vertical sobre terra horitzontal. A quina distància de la paret és la base?

Identifica el triangle rectangle. L'angle recte és entre la paret i el terra. Per tant:

la hipotenusa és l'escala, $5$ m;
un catet és l'altura a la paret, $4$ m;
l'altre catet és la distància que busquem.

Com que busquem un catet, restem.

x = \sqrt{5^{2}-4^{2}} = \sqrt{25-16} = \sqrt9 = 3 \ \text{m}.

Comprovació. $3^{2}+4^{2} = 9+16 = 25 = 5^{2}$ ✓

Comprovació de coherència. La distància ( $3$ m) és més petita que l'escala ( $5$ m), com ha de ser: cap catet no pot superar la hipotenusa ✓

L'error que l'enunciat convida a fer. Sumar: $\sqrt{25+16} = \sqrt{41} \approx 6{,}4$ m. Això diria que la base de l'escala és a $6{,}4$ m de la paret amb una escala de només $5$ m, cosa impossible. La comprovació de magnitud detecta aquest error immediatament, i per això convé fer-la sempre.

Una observació sobre les dades. El triangle $3$ – $4$ – $5$ és el més famós dels triples pitagòrics, i apareix constantment als exercicis perquè dona números exactes. Altres que val la pena reconèixer: $5$ – $12$ – $13$ , $8$ – $15$ – $17$ i $7$ – $24$ – $25$ .

Comprovar si un triangle és rectangle

Un triangle té costats $7$ , $24$ i $25$ cm. És rectangle?

Identifica el costat més llarg. És el $25$ : si el triangle fos rectangle, aquest hauria de ser la hipotenusa.

Comprova la igualtat del teorema.

7^{2} + 24^{2} = 49 + 576 = 625, \qquad 25^{2} = 625.

Coincideixen, de manera que sí: el triangle és rectangle, amb l'angle recte oposat al costat de $25$ cm.

Per què això és una demostració i no una comprovació parcial. El recíproc del teorema diu que la igualtat és suficient: si es compleix, el triangle ha de ser rectangle. No cal mesurar cap angle.

El pas que decideix l'exercici. Provar la igualtat amb el costat més llarg com a hipotenusa. Si haguessis provat $7^{2}+25^{2}$ contra $24^{2}$ , hauria sortit $674$ contra $576$ : no coincideixen, i podries concloure erròniament que no és rectangle. Hi ha una sola assignació possible, i és la que posa el costat més llarg com a hipotenusa.

Un contraexemple per contrast. Amb costats $7$ , $24$ i $26$ : $49+576 = 625$ i $26^{2} = 676$ . No coincideixen, de manera que aquest triangle no és rectangle. I com que $676 > 625$ , l'angle oposat al costat llarg és obtús.

Dibuixa i marca la hipotenusa abans de calcular

Fes un esbós del triangle, marca l'angle recte amb el quadradet i escriu una H al costat que és la hipotenusa. Després decideix si sumes o restes.

Aquests deu segons eliminen l'error més costós del tema. I quan tinguis el resultat, comprova que la hipotenusa sigui el valor més gran dels tres: és un control que mai no falla.

Exercici resolt: la hipotenusa amb catets coneguts

Troba la hipotenusa d'un triangle rectangle amb catets $6$ i $8$ cm.

Busquem la hipotenusa, de manera que sumem.

c = \sqrt{6^{2}+8^{2}} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10 \ \text{cm}.

Comprovació. $6^{2}+8^{2} = 100 = 10^{2}$ ✓

Comprovació de magnitud. $10 > 8$ i $10 > 6$ : la hipotenusa és el costat més llarg ✓

Una observació sobre els números. $6$ – $8$ – $10$ és el triple $3$ – $4$ – $5$ multiplicat per dos. Qualsevol múltiple d'un triple pitagòric és també un triple pitagòric, perquè multiplicar els tres costats per $k$ multiplica els tres quadrats per $k^{2}$ i la igualtat es manté. Reconèixer-ho estalvia el càlcul: si veus catets $9$ i $12$ , la hipotenusa és $15$ sense fer res.

I un detall sobre els resultats no exactes. Si els catets fossin $6$ i $7$ , la hipotenusa seria $\sqrt{85}$ , que no és un enter. La resposta correcta és deixar-la com $\sqrt{85}$ cm (forma exacta) i donar-ne l'aproximació $9{,}22$ cm només si l'enunciat la demana.

Exercici resolt: la diagonal d'una capsa

Calcula la diagonal espacial d'una capsa de costats $2$ , $3$ i $6$ cm.

Camí en dos passos, per entendre d'on surt la fórmula.

Pas 1 — la diagonal de la base. La base és un rectangle de $2 \times 3$ :

d_{\text{base}} = \sqrt{2^{2}+3^{2}} = \sqrt{13} \ \text{cm}.

Pas 2 — el triangle vertical. La diagonal espacial és la hipotenusa d'un triangle rectangle amb catets la diagonal de la base i l'altura de la capsa:

d = \sqrt{(\sqrt{13})^{2} + 6^{2}} = \sqrt{13+36} = \sqrt{49} = 7 \ \text{cm}.

Camí directe, amb la fórmula.

d = \sqrt{2^{2}+3^{2}+6^{2}} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7 \ \text{cm} \quad\checkmark

Els dos camins coincideixen, i el primer explica per què la fórmula té els tres quadrats sumats: és Pitàgores aplicat dues vegades, i el quadrat de la diagonal de la base ja era la suma dels altres dos.

Comprovació de magnitud. La diagonal ( $7$ cm) ha de ser més gran que qualsevol aresta, i la més llarga era $6$ cm ✓ I també més gran que la diagonal de qualsevol cara: la més gran era $\sqrt{3^{2}+6^{2}} = \sqrt{45} \approx 6{,}7$ ✓

Per què val la pena saber fer-ho pels dos camins. La fórmula és més ràpida, però el raonament en dos passos és el que et permet resoldre variants: la distància entre dos vèrtexs qualssevol, l'angle que fa la diagonal amb la base, o problemes en cossos que no són capses.

On ho faràs servir

Pitàgores apareix a cada tema de geometria que ve després: a la semblança, a la trigonometria (on relaciona el sinus i el cosinus), a la distància entre dos punts del pla i a la generatriu del con.

A física és l'eina per compondre i descompondre vectors: la força o la velocitat resultant de dues components perpendiculars es calcula exactament així.

I és el resultat que més es fa servir fora de les matemàtiques: en construcció, per comprovar que una cantonada és recta; en navegació, per calcular distàncies; i en informàtica, en qualsevol càlcul de distàncies en una pantalla o en un espai de dades.

Ara prova-ho tu. 106 exercicis d'aquest tema, de 4 tipus diferents, per resoldre en línia, de deu en deu: escrius la resposta, te la corregeix a l'instant i, si falles, t'explica com es fa pas a pas. Quan acabis una tanda, en tens deu més, amb dades noves.

Fer els exercicis Simulacre d'examen