Mitjana, mediana, moda i quartils: triar la mesura de centre

Hi ha diverses maneres de resumir unes dades amb un sol número, i no donen el mateix. Saber quina triar segons la forma de les dades és el contingut d'aquest tema; calcular-les és la part fàcil.

El que has de dominar abans: taules de freqüències i operacions amb decimals.

Les tres mesures de centre

La mitjana és la suma dels valors dividida pel nombre de dades. Amb una taula de freqüències:

$$\bar x = \frac{\sum n_i\,x_i}{N}.$$

La mediana és el valor central de les dades ordenades. Amb $N$ senar és el valor del mig; amb $N$ parell és la mitjana dels dos centrals.

La moda és el valor o la categoria més freqüent. Pot haver-n'hi diverses, i és l'única de les tres que té sentit en una variable qualitativa.

Els quartils

Els quartils divideixen les dades ordenades en quatre parts aproximadament iguals.

En aquesta pàgina fem servir aquesta convenció:

• $Q_2$ és la mediana;
• $Q_1$ és la mediana de la primera meitat i $Q_3$ la de la segona, excloent la mediana global si $N$ és senar.

Hi ha altres convencions, especialment als programes de full de càlcul, que poden donar valors una mica diferents. No és que una sigui correcta i les altres no: cal indicar quina s'ha fet servir.

Mitjana o mediana?

La mitjana és sensible als valors extrems. Un sol valor molt gran l'arrossega cap amunt.

La mediana és resistent. Només depèn de la posició central, no de com de grans siguin els valors dels extrems.

Per això, quan les dades són asimètriques o tenen valors atípics, la mediana sol descriure millor el «centre» intuïtiu. En dades de sous o de preus d'habitatge, per exemple, la mediana és molt més informativa que la mitjana.

Això no vol dir que la mitjana sigui pitjor. La mitjana té la propietat que, multiplicada per $N$, dona el total, cosa que la mediana no fa. Per a un repartiment o un total, la mitjana és la mesura adequada.

Mitjana ponderada

Quan els valors tenen pesos diferents:

$$\bar x = \frac{\sum p_i\,x_i}{\sum p_i}.$$

Cada valor es multiplica pel seu pes i es divideix per la suma dels pesos, no pel nombre de valors.

Exercici resolt: les tres mesures

Troba la mitjana, la mediana i la moda de $1, 2, 2, 3, 7$.

Comprova que estan ordenades. Sí.

Mitjana.

$$\bar x = \frac{1+2+2+3+7}{5} = \frac{15}{5} = 3.$$

Mediana. $N = 5$, senar: el valor central és el tercer, és a dir $2$.

Moda. El $2$ apareix dues vegades i la resta una: moda $= 2$.

La lectura conjunta. La mitjana ($3$) és més gran que la mediana ($2$), cosa que indica que hi ha un valor que estira cap amunt: el $7$. Tres de les cinc dades valen $2$ o menys.

Comprovació de la mitjana. Si la mitjana és $3$ i hi ha cinc dades, la suma ha de ser $15$ ✓

Un detall de vocabulari. Aquí les tres mesures donen números diferents ($3$, $2$ i $2$), i això és normal. Només coincideixen en distribucions simètriques i unimodals. Donar-ne una sola quan es demanen les tres és deixar l'exercici incomplet.

Exercici resolt: una nota ponderada

Les notes $6$, $7$ i $8$ pesen el $20\,\%$, el $30\,\%$ i el $50\,\%$. Calcula la nota ponderada.

Aplica la fórmula amb els pesos en decimal.

$$\bar x = 0{,}2\cdot 6 + 0{,}3\cdot 7 + 0{,}5\cdot 8 = 1{,}2 + 2{,}1 + 4 = 7{,}3.$$

Per què no cal dividir aquí. Perquè els pesos ja sumen $1$ ($0{,}2+0{,}3+0{,}5$). Si els pesos fossin, per exemple, $2$, $3$ i $5$ sense normalitzar, caldria dividir per la seva suma, que és $10$:

$$\frac{2\cdot 6 + 3\cdot 7 + 5\cdot 8}{10} = \frac{12+21+40}{10} = 7{,}3 \quad\checkmark$$

El mateix resultat, com havia de ser.

Comprovació de sentit. El resultat ($7{,}3$) està entre la nota més baixa ($6$) i la més alta ($8$) ✓ Una mitjana ponderada sempre hi ha d'estar: si et surt fora d'aquest rang, hi ha un error.

I una comprovació més fina. La mitjana simple de $6$, $7$ i $8$ seria $7$. El resultat ponderat és més alt perquè la nota més alta és la que té més pes ✓ Mirar cap a quin costat s'ha desplaçat respecte de la mitjana simple, i si té sentit amb els pesos, és el millor control d'aquest exercici.

On apareix a la pràctica. És exactament el càlcul de les notes trimestrals amb percentatges per examen, treball i actitud, i el de la nota d'accés a la universitat amb les ponderacions de cada matèria.

On ho faràs servir

Les mesures de centre són la primera cosa que es calcula sobre qualsevol conjunt de dades, i la tria entre mitjana i mediana és una decisió que es pren constantment en economia, demografia i salut pública.

Els quartils són la base del diagrama de caixa i del recorregut interquartílic, que veuràs al tema següent, i de la detecció de valors atípics.

I la mitjana ponderada apareix cada vegada que es combinen grups de mides diferents o criteris amb pesos diferents, des de les notes acadèmiques fins als índexs de preus.