Exercicis d'anells, ideals i quocients

El criteri. La classe d'$a$ és invertible mòdul $3$ si i només si $\gcd(a,3) = 1$. El motiu és Bézout: d'una identitat $au + 3v = 1$ es llegeix directament que $u$ és l'invers.

El recompte.

$\varphi(3) = 2$

Com que $3$ és primer, totes les classes no nul·les són invertibles: l'anell és un cos amb $3$ elements.

La dicotomia en un anell finit. En un anell finit commutatiu, cada element no nul és o bé unitat o bé divisor de zero, sense cap altra possibilitat. Als enters, en canvi, el $2$ no és cap de les dues coses: aquesta és una diferència essencial entre anells finits i infinits.

La dicotomia. En un anell finit commutatiu amb unitat, cada element no nul és exactament una de dues coses: unitat o divisor de zero. Per tant

$\#\text{divisors de zero} = 4 - 1 - \varphi(4) = 4 - 1 - 2 = 1$

Quins són. Són les classes els representants de les quals comparteixen algun factor amb $4$. Per exemple, si $d$ divideix $4$ amb $1 < d < 4$, la classe de $d$ multiplicada per la de $4/d$ dona zero.

Per què la dicotomia és certa. Si un element no és divisor de zero, multiplicar per ell és injectiu; i en un conjunt finit, injectiu implica exhaustiu, de manera que algun element ha d'anar a la unitat. Aquest argument no funciona en anells infinits, i per això als enters hi ha una tercera categoria.

El criteri. La classe d'$a$ és invertible mòdul $4$ si i només si $\gcd(a,4) = 1$. El motiu és Bézout: d'una identitat $au + 4v = 1$ es llegeix directament que $u$ és l'invers.

El recompte.

$\varphi(4) = 2$

Com que $4$ no és primer, hi ha classes no nul·les sense invers. De fet, les classes no nul·les i no invertibles són exactament els divisors de zero: n'hi ha $1$.

La dicotomia en un anell finit. En un anell finit commutatiu, cada element no nul és o bé unitat o bé divisor de zero, sense cap altra possibilitat. Als enters, en canvi, el $2$ no és cap de les dues coses: aquesta és una diferència essencial entre anells finits i infinits.

La dicotomia. En un anell finit commutatiu amb unitat, cada element no nul és exactament una de dues coses: unitat o divisor de zero. Per tant

$\#\text{divisors de zero} = 5 - 1 - \varphi(5) = 5 - 1 - 4 = 0$

Aquí surt zero: com que $5$ és primer, no hi ha cap divisor de zero i l'anell és un cos.

Per què la dicotomia és certa. Si un element no és divisor de zero, multiplicar per ell és injectiu; i en un conjunt finit, injectiu implica exhaustiu, de manera que algun element ha d'anar a la unitat. Aquest argument no funciona en anells infinits, i per això als enters hi ha una tercera categoria.

El criteri. La classe d'$a$ és invertible mòdul $5$ si i només si $\gcd(a,5) = 1$. El motiu és Bézout: d'una identitat $au + 5v = 1$ es llegeix directament que $u$ és l'invers.

El recompte.

$\varphi(5) = 4$

Com que $5$ és primer, totes les classes no nul·les són invertibles: l'anell és un cos amb $5$ elements.

La dicotomia en un anell finit. En un anell finit commutatiu, cada element no nul és o bé unitat o bé divisor de zero, sense cap altra possibilitat. Als enters, en canvi, el $2$ no és cap de les dues coses: aquesta és una diferència essencial entre anells finits i infinits.

La dicotomia. En un anell finit commutatiu amb unitat, cada element no nul és exactament una de dues coses: unitat o divisor de zero. Per tant

$\#\text{divisors de zero} = 6 - 1 - \varphi(6) = 6 - 1 - 2 = 3$

Quins són. Són les classes els representants de les quals comparteixen algun factor amb $6$. Per exemple, si $d$ divideix $6$ amb $1 < d < 6$, la classe de $d$ multiplicada per la de $6/d$ dona zero.

Per què la dicotomia és certa. Si un element no és divisor de zero, multiplicar per ell és injectiu; i en un conjunt finit, injectiu implica exhaustiu, de manera que algun element ha d'anar a la unitat. Aquest argument no funciona en anells infinits, i per això als enters hi ha una tercera categoria.

El criteri. La classe d'$a$ és invertible mòdul $6$ si i només si $\gcd(a,6) = 1$. El motiu és Bézout: d'una identitat $au + 6v = 1$ es llegeix directament que $u$ és l'invers.

El recompte.

$\varphi(6) = 2$

Com que $6$ no és primer, hi ha classes no nul·les sense invers. De fet, les classes no nul·les i no invertibles són exactament els divisors de zero: n'hi ha $3$.

La dicotomia en un anell finit. En un anell finit commutatiu, cada element no nul és o bé unitat o bé divisor de zero, sense cap altra possibilitat. Als enters, en canvi, el $2$ no és cap de les dues coses: aquesta és una diferència essencial entre anells finits i infinits.

La dicotomia. En un anell finit commutatiu amb unitat, cada element no nul és exactament una de dues coses: unitat o divisor de zero. Per tant

$\#\text{divisors de zero} = 7 - 1 - \varphi(7) = 7 - 1 - 6 = 0$

Aquí surt zero: com que $7$ és primer, no hi ha cap divisor de zero i l'anell és un cos.

Per què la dicotomia és certa. Si un element no és divisor de zero, multiplicar per ell és injectiu; i en un conjunt finit, injectiu implica exhaustiu, de manera que algun element ha d'anar a la unitat. Aquest argument no funciona en anells infinits, i per això als enters hi ha una tercera categoria.

El criteri. La classe d'$a$ és invertible mòdul $7$ si i només si $\gcd(a,7) = 1$. El motiu és Bézout: d'una identitat $au + 7v = 1$ es llegeix directament que $u$ és l'invers.

El recompte.

$\varphi(7) = 6$

Com que $7$ és primer, totes les classes no nul·les són invertibles: l'anell és un cos amb $7$ elements.

La dicotomia en un anell finit. En un anell finit commutatiu, cada element no nul és o bé unitat o bé divisor de zero, sense cap altra possibilitat. Als enters, en canvi, el $2$ no és cap de les dues coses: aquesta és una diferència essencial entre anells finits i infinits.

La dicotomia. En un anell finit commutatiu amb unitat, cada element no nul és exactament una de dues coses: unitat o divisor de zero. Per tant

$\#\text{divisors de zero} = 8 - 1 - \varphi(8) = 8 - 1 - 4 = 3$

Quins són. Són les classes els representants de les quals comparteixen algun factor amb $8$. Per exemple, si $d$ divideix $8$ amb $1 < d < 8$, la classe de $d$ multiplicada per la de $8/d$ dona zero.

Per què la dicotomia és certa. Si un element no és divisor de zero, multiplicar per ell és injectiu; i en un conjunt finit, injectiu implica exhaustiu, de manera que algun element ha d'anar a la unitat. Aquest argument no funciona en anells infinits, i per això als enters hi ha una tercera categoria.