Simulacre d'examen d'anells, ideals i quocients

El criteri. La classe d'$a$ és invertible mòdul $3$ si i només si $\gcd(a,3) = 1$. El motiu és Bézout: d'una identitat $au + 3v = 1$ es llegeix directament que $u$ és l'invers.

El recompte.

$\varphi(3) = 2$

Com que $3$ és primer, totes les classes no nul·les són invertibles: l'anell és un cos amb $3$ elements.

La dicotomia en un anell finit. En un anell finit commutatiu, cada element no nul és o bé unitat o bé divisor de zero, sense cap altra possibilitat. Als enters, en canvi, el $2$ no és cap de les dues coses: aquesta és una diferència essencial entre anells finits i infinits.

La dicotomia. En un anell finit commutatiu amb unitat, cada element no nul és exactament una de dues coses: unitat o divisor de zero. Per tant

$\#\text{divisors de zero} = 11 - 1 - \varphi(11) = 11 - 1 - 10 = 0$

Aquí surt zero: com que $11$ és primer, no hi ha cap divisor de zero i l'anell és un cos.

Per què la dicotomia és certa. Si un element no és divisor de zero, multiplicar per ell és injectiu; i en un conjunt finit, injectiu implica exhaustiu, de manera que algun element ha d'anar a la unitat. Aquest argument no funciona en anells infinits, i per això als enters hi ha una tercera categoria.

El criteri. La classe d'$a$ és invertible mòdul $18$ si i només si $\gcd(a,18) = 1$. El motiu és Bézout: d'una identitat $au + 18v = 1$ es llegeix directament que $u$ és l'invers.

El recompte.

$\varphi(18) = 6$

Com que $18$ no és primer, hi ha classes no nul·les sense invers. De fet, les classes no nul·les i no invertibles són exactament els divisors de zero: n'hi ha $11$.

La dicotomia en un anell finit. En un anell finit commutatiu, cada element no nul és o bé unitat o bé divisor de zero, sense cap altra possibilitat. Als enters, en canvi, el $2$ no és cap de les dues coses: aquesta és una diferència essencial entre anells finits i infinits.

El criteri. La classe d'$a$ és invertible mòdul $26$ si i només si $\gcd(a,26) = 1$. El motiu és Bézout: d'una identitat $au + 26v = 1$ es llegeix directament que $u$ és l'invers.

El recompte.

$\varphi(26) = 12$

Com que $26$ no és primer, hi ha classes no nul·les sense invers. De fet, les classes no nul·les i no invertibles són exactament els divisors de zero: n'hi ha $13$.

La dicotomia en un anell finit. En un anell finit commutatiu, cada element no nul és o bé unitat o bé divisor de zero, sense cap altra possibilitat. Als enters, en canvi, el $2$ no és cap de les dues coses: aquesta és una diferència essencial entre anells finits i infinits.

La dicotomia. En un anell finit commutatiu amb unitat, cada element no nul és exactament una de dues coses: unitat o divisor de zero. Per tant

$\#\text{divisors de zero} = 34 - 1 - \varphi(34) = 34 - 1 - 16 = 17$

Quins són. Són les classes els representants de les quals comparteixen algun factor amb $34$. Per exemple, si $d$ divideix $34$ amb $1 < d < 34$, la classe de $d$ multiplicada per la de $34/d$ dona zero.

Per què la dicotomia és certa. Si un element no és divisor de zero, multiplicar per ell és injectiu; i en un conjunt finit, injectiu implica exhaustiu, de manera que algun element ha d'anar a la unitat. Aquest argument no funciona en anells infinits, i per això als enters hi ha una tercera categoria.

El criteri. La classe d'$a$ és invertible mòdul $41$ si i només si $\gcd(a,41) = 1$. El motiu és Bézout: d'una identitat $au + 41v = 1$ es llegeix directament que $u$ és l'invers.

El recompte.

$\varphi(41) = 40$

Com que $41$ és primer, totes les classes no nul·les són invertibles: l'anell és un cos amb $41$ elements.

La dicotomia en un anell finit. En un anell finit commutatiu, cada element no nul és o bé unitat o bé divisor de zero, sense cap altra possibilitat. Als enters, en canvi, el $2$ no és cap de les dues coses: aquesta és una diferència essencial entre anells finits i infinits.

El criteri. La classe d'$a$ és invertible mòdul $49$ si i només si $\gcd(a,49) = 1$. El motiu és Bézout: d'una identitat $au + 49v = 1$ es llegeix directament que $u$ és l'invers.

El recompte.

$\varphi(49) = 42$

Com que $49$ no és primer, hi ha classes no nul·les sense invers. De fet, les classes no nul·les i no invertibles són exactament els divisors de zero: n'hi ha $6$.

La dicotomia en un anell finit. En un anell finit commutatiu, cada element no nul és o bé unitat o bé divisor de zero, sense cap altra possibilitat. Als enters, en canvi, el $2$ no és cap de les dues coses: aquesta és una diferència essencial entre anells finits i infinits.

La dicotomia. En un anell finit commutatiu amb unitat, cada element no nul és exactament una de dues coses: unitat o divisor de zero. Per tant

$\#\text{divisors de zero} = 57 - 1 - \varphi(57) = 57 - 1 - 36 = 20$

Quins són. Són les classes els representants de les quals comparteixen algun factor amb $57$. Per exemple, si $d$ divideix $57$ amb $1 < d < 57$, la classe de $d$ multiplicada per la de $57/d$ dona zero.

Per què la dicotomia és certa. Si un element no és divisor de zero, multiplicar per ell és injectiu; i en un conjunt finit, injectiu implica exhaustiu, de manera que algun element ha d'anar a la unitat. Aquest argument no funciona en anells infinits, i per això als enters hi ha una tercera categoria.