Exercicis d'anells, ideals i quocients

El criteri. La classe d'$a$ és invertible mòdul $53$ si i només si $\gcd(a,53) = 1$. El motiu és Bézout: d'una identitat $au + 53v = 1$ es llegeix directament que $u$ és l'invers.

El recompte.

$\varphi(53) = 52$

Com que $53$ és primer, totes les classes no nul·les són invertibles: l'anell és un cos amb $53$ elements.

La dicotomia en un anell finit. En un anell finit commutatiu, cada element no nul és o bé unitat o bé divisor de zero, sense cap altra possibilitat. Als enters, en canvi, el $2$ no és cap de les dues coses: aquesta és una diferència essencial entre anells finits i infinits.

La dicotomia. En un anell finit commutatiu amb unitat, cada element no nul és exactament una de dues coses: unitat o divisor de zero. Per tant

$\#\text{divisors de zero} = 54 - 1 - \varphi(54) = 54 - 1 - 18 = 35$

Quins són. Són les classes els representants de les quals comparteixen algun factor amb $54$. Per exemple, si $d$ divideix $54$ amb $1 < d < 54$, la classe de $d$ multiplicada per la de $54/d$ dona zero.

Per què la dicotomia és certa. Si un element no és divisor de zero, multiplicar per ell és injectiu; i en un conjunt finit, injectiu implica exhaustiu, de manera que algun element ha d'anar a la unitat. Aquest argument no funciona en anells infinits, i per això als enters hi ha una tercera categoria.

El criteri. La classe d'$a$ és invertible mòdul $54$ si i només si $\gcd(a,54) = 1$. El motiu és Bézout: d'una identitat $au + 54v = 1$ es llegeix directament que $u$ és l'invers.

El recompte.

$\varphi(54) = 18$

Com que $54$ no és primer, hi ha classes no nul·les sense invers. De fet, les classes no nul·les i no invertibles són exactament els divisors de zero: n'hi ha $35$.

La dicotomia en un anell finit. En un anell finit commutatiu, cada element no nul és o bé unitat o bé divisor de zero, sense cap altra possibilitat. Als enters, en canvi, el $2$ no és cap de les dues coses: aquesta és una diferència essencial entre anells finits i infinits.

La dicotomia. En un anell finit commutatiu amb unitat, cada element no nul és exactament una de dues coses: unitat o divisor de zero. Per tant

$\#\text{divisors de zero} = 55 - 1 - \varphi(55) = 55 - 1 - 40 = 14$

Quins són. Són les classes els representants de les quals comparteixen algun factor amb $55$. Per exemple, si $d$ divideix $55$ amb $1 < d < 55$, la classe de $d$ multiplicada per la de $55/d$ dona zero.

Per què la dicotomia és certa. Si un element no és divisor de zero, multiplicar per ell és injectiu; i en un conjunt finit, injectiu implica exhaustiu, de manera que algun element ha d'anar a la unitat. Aquest argument no funciona en anells infinits, i per això als enters hi ha una tercera categoria.

El criteri. La classe d'$a$ és invertible mòdul $55$ si i només si $\gcd(a,55) = 1$. El motiu és Bézout: d'una identitat $au + 55v = 1$ es llegeix directament que $u$ és l'invers.

El recompte.

$\varphi(55) = 40$

Com que $55$ no és primer, hi ha classes no nul·les sense invers. De fet, les classes no nul·les i no invertibles són exactament els divisors de zero: n'hi ha $14$.

La dicotomia en un anell finit. En un anell finit commutatiu, cada element no nul és o bé unitat o bé divisor de zero, sense cap altra possibilitat. Als enters, en canvi, el $2$ no és cap de les dues coses: aquesta és una diferència essencial entre anells finits i infinits.

La dicotomia. En un anell finit commutatiu amb unitat, cada element no nul és exactament una de dues coses: unitat o divisor de zero. Per tant

$\#\text{divisors de zero} = 56 - 1 - \varphi(56) = 56 - 1 - 24 = 31$

Quins són. Són les classes els representants de les quals comparteixen algun factor amb $56$. Per exemple, si $d$ divideix $56$ amb $1 < d < 56$, la classe de $d$ multiplicada per la de $56/d$ dona zero.

Per què la dicotomia és certa. Si un element no és divisor de zero, multiplicar per ell és injectiu; i en un conjunt finit, injectiu implica exhaustiu, de manera que algun element ha d'anar a la unitat. Aquest argument no funciona en anells infinits, i per això als enters hi ha una tercera categoria.

El criteri. La classe d'$a$ és invertible mòdul $56$ si i només si $\gcd(a,56) = 1$. El motiu és Bézout: d'una identitat $au + 56v = 1$ es llegeix directament que $u$ és l'invers.

El recompte.

$\varphi(56) = 24$

Com que $56$ no és primer, hi ha classes no nul·les sense invers. De fet, les classes no nul·les i no invertibles són exactament els divisors de zero: n'hi ha $31$.

La dicotomia en un anell finit. En un anell finit commutatiu, cada element no nul és o bé unitat o bé divisor de zero, sense cap altra possibilitat. Als enters, en canvi, el $2$ no és cap de les dues coses: aquesta és una diferència essencial entre anells finits i infinits.

La dicotomia. En un anell finit commutatiu amb unitat, cada element no nul és exactament una de dues coses: unitat o divisor de zero. Per tant

$\#\text{divisors de zero} = 57 - 1 - \varphi(57) = 57 - 1 - 36 = 20$

Quins són. Són les classes els representants de les quals comparteixen algun factor amb $57$. Per exemple, si $d$ divideix $57$ amb $1 < d < 57$, la classe de $d$ multiplicada per la de $57/d$ dona zero.

Per què la dicotomia és certa. Si un element no és divisor de zero, multiplicar per ell és injectiu; i en un conjunt finit, injectiu implica exhaustiu, de manera que algun element ha d'anar a la unitat. Aquest argument no funciona en anells infinits, i per això als enters hi ha una tercera categoria.

El criteri. La classe d'$a$ és invertible mòdul $57$ si i només si $\gcd(a,57) = 1$. El motiu és Bézout: d'una identitat $au + 57v = 1$ es llegeix directament que $u$ és l'invers.

El recompte.

$\varphi(57) = 36$

Com que $57$ no és primer, hi ha classes no nul·les sense invers. De fet, les classes no nul·les i no invertibles són exactament els divisors de zero: n'hi ha $20$.

La dicotomia en un anell finit. En un anell finit commutatiu, cada element no nul és o bé unitat o bé divisor de zero, sense cap altra possibilitat. Als enters, en canvi, el $2$ no és cap de les dues coses: aquesta és una diferència essencial entre anells finits i infinits.

La dicotomia. En un anell finit commutatiu amb unitat, cada element no nul és exactament una de dues coses: unitat o divisor de zero. Per tant

$\#\text{divisors de zero} = 58 - 1 - \varphi(58) = 58 - 1 - 28 = 29$

Quins són. Són les classes els representants de les quals comparteixen algun factor amb $58$. Per exemple, si $d$ divideix $58$ amb $1 < d < 58$, la classe de $d$ multiplicada per la de $58/d$ dona zero.

Per què la dicotomia és certa. Si un element no és divisor de zero, multiplicar per ell és injectiu; i en un conjunt finit, injectiu implica exhaustiu, de manera que algun element ha d'anar a la unitat. Aquest argument no funciona en anells infinits, i per això als enters hi ha una tercera categoria.