Exercicis d'anells, ideals i quocients

El criteri. La classe d'$a$ és invertible mòdul $8$ si i només si $\gcd(a,8) = 1$. El motiu és Bézout: d'una identitat $au + 8v = 1$ es llegeix directament que $u$ és l'invers.

El recompte.

$\varphi(8) = 4$

Com que $8$ no és primer, hi ha classes no nul·les sense invers. De fet, les classes no nul·les i no invertibles són exactament els divisors de zero: n'hi ha $3$.

La dicotomia en un anell finit. En un anell finit commutatiu, cada element no nul és o bé unitat o bé divisor de zero, sense cap altra possibilitat. Als enters, en canvi, el $2$ no és cap de les dues coses: aquesta és una diferència essencial entre anells finits i infinits.

La dicotomia. En un anell finit commutatiu amb unitat, cada element no nul és exactament una de dues coses: unitat o divisor de zero. Per tant

$\#\text{divisors de zero} = 9 - 1 - \varphi(9) = 9 - 1 - 6 = 2$

Quins són. Són les classes els representants de les quals comparteixen algun factor amb $9$. Per exemple, si $d$ divideix $9$ amb $1 < d < 9$, la classe de $d$ multiplicada per la de $9/d$ dona zero.

Per què la dicotomia és certa. Si un element no és divisor de zero, multiplicar per ell és injectiu; i en un conjunt finit, injectiu implica exhaustiu, de manera que algun element ha d'anar a la unitat. Aquest argument no funciona en anells infinits, i per això als enters hi ha una tercera categoria.

El criteri. La classe d'$a$ és invertible mòdul $9$ si i només si $\gcd(a,9) = 1$. El motiu és Bézout: d'una identitat $au + 9v = 1$ es llegeix directament que $u$ és l'invers.

El recompte.

$\varphi(9) = 6$

Com que $9$ no és primer, hi ha classes no nul·les sense invers. De fet, les classes no nul·les i no invertibles són exactament els divisors de zero: n'hi ha $2$.

La dicotomia en un anell finit. En un anell finit commutatiu, cada element no nul és o bé unitat o bé divisor de zero, sense cap altra possibilitat. Als enters, en canvi, el $2$ no és cap de les dues coses: aquesta és una diferència essencial entre anells finits i infinits.

La dicotomia. En un anell finit commutatiu amb unitat, cada element no nul és exactament una de dues coses: unitat o divisor de zero. Per tant

$\#\text{divisors de zero} = 10 - 1 - \varphi(10) = 10 - 1 - 4 = 5$

Quins són. Són les classes els representants de les quals comparteixen algun factor amb $10$. Per exemple, si $d$ divideix $10$ amb $1 < d < 10$, la classe de $d$ multiplicada per la de $10/d$ dona zero.

Per què la dicotomia és certa. Si un element no és divisor de zero, multiplicar per ell és injectiu; i en un conjunt finit, injectiu implica exhaustiu, de manera que algun element ha d'anar a la unitat. Aquest argument no funciona en anells infinits, i per això als enters hi ha una tercera categoria.

El criteri. La classe d'$a$ és invertible mòdul $10$ si i només si $\gcd(a,10) = 1$. El motiu és Bézout: d'una identitat $au + 10v = 1$ es llegeix directament que $u$ és l'invers.

El recompte.

$\varphi(10) = 4$

Com que $10$ no és primer, hi ha classes no nul·les sense invers. De fet, les classes no nul·les i no invertibles són exactament els divisors de zero: n'hi ha $5$.

La dicotomia en un anell finit. En un anell finit commutatiu, cada element no nul és o bé unitat o bé divisor de zero, sense cap altra possibilitat. Als enters, en canvi, el $2$ no és cap de les dues coses: aquesta és una diferència essencial entre anells finits i infinits.

La dicotomia. En un anell finit commutatiu amb unitat, cada element no nul és exactament una de dues coses: unitat o divisor de zero. Per tant

$\#\text{divisors de zero} = 11 - 1 - \varphi(11) = 11 - 1 - 10 = 0$

Aquí surt zero: com que $11$ és primer, no hi ha cap divisor de zero i l'anell és un cos.

Per què la dicotomia és certa. Si un element no és divisor de zero, multiplicar per ell és injectiu; i en un conjunt finit, injectiu implica exhaustiu, de manera que algun element ha d'anar a la unitat. Aquest argument no funciona en anells infinits, i per això als enters hi ha una tercera categoria.

El criteri. La classe d'$a$ és invertible mòdul $11$ si i només si $\gcd(a,11) = 1$. El motiu és Bézout: d'una identitat $au + 11v = 1$ es llegeix directament que $u$ és l'invers.

El recompte.

$\varphi(11) = 10$

Com que $11$ és primer, totes les classes no nul·les són invertibles: l'anell és un cos amb $11$ elements.

La dicotomia en un anell finit. En un anell finit commutatiu, cada element no nul és o bé unitat o bé divisor de zero, sense cap altra possibilitat. Als enters, en canvi, el $2$ no és cap de les dues coses: aquesta és una diferència essencial entre anells finits i infinits.

La dicotomia. En un anell finit commutatiu amb unitat, cada element no nul és exactament una de dues coses: unitat o divisor de zero. Per tant

$\#\text{divisors de zero} = 12 - 1 - \varphi(12) = 12 - 1 - 4 = 7$

Quins són. Són les classes els representants de les quals comparteixen algun factor amb $12$. Per exemple, si $d$ divideix $12$ amb $1 < d < 12$, la classe de $d$ multiplicada per la de $12/d$ dona zero.

Per què la dicotomia és certa. Si un element no és divisor de zero, multiplicar per ell és injectiu; i en un conjunt finit, injectiu implica exhaustiu, de manera que algun element ha d'anar a la unitat. Aquest argument no funciona en anells infinits, i per això als enters hi ha una tercera categoria.

El criteri. La classe d'$a$ és invertible mòdul $12$ si i només si $\gcd(a,12) = 1$. El motiu és Bézout: d'una identitat $au + 12v = 1$ es llegeix directament que $u$ és l'invers.

El recompte.

$\varphi(12) = 4$

Com que $12$ no és primer, hi ha classes no nul·les sense invers. De fet, les classes no nul·les i no invertibles són exactament els divisors de zero: n'hi ha $7$.

La dicotomia en un anell finit. En un anell finit commutatiu, cada element no nul és o bé unitat o bé divisor de zero, sense cap altra possibilitat. Als enters, en canvi, el $2$ no és cap de les dues coses: aquesta és una diferència essencial entre anells finits i infinits.

La dicotomia. En un anell finit commutatiu amb unitat, cada element no nul és exactament una de dues coses: unitat o divisor de zero. Per tant

$\#\text{divisors de zero} = 13 - 1 - \varphi(13) = 13 - 1 - 12 = 0$

Aquí surt zero: com que $13$ és primer, no hi ha cap divisor de zero i l'anell és un cos.

Per què la dicotomia és certa. Si un element no és divisor de zero, multiplicar per ell és injectiu; i en un conjunt finit, injectiu implica exhaustiu, de manera que algun element ha d'anar a la unitat. Aquest argument no funciona en anells infinits, i per això als enters hi ha una tercera categoria.