Exercicis de sistemes d'EDO i estabilitat

Pas 1 — igualar a zero.

$3x - 5x^{2} = x\left(3 - 5x\right) = 0$

Pas 2 — els dos factors. El primer dona $x = 0$ i el segon dona

$x = \frac{3}{5} \approx 0.6000$

Pas 3 — estabilitat (bonus). La derivada del camp és $3 - 10x$. A $x=0$ val $3$ i a l'altre equilibri val $-3$: com que tenen signes oposats, un és atractor i l'altre repulsor. Aquesta és l'estructura del model logístic.

Pas 1 — veure que està desacoblat. La primera equació només conté $x$ i la segona només $y$: no cal cap autovalor ni cap matriu, es resolen per separat.

Pas 2 — resoldre la primera.

$x(t) = e^{t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 1$.

$x(1) = e^{1} \approx 2.7183$

La segona component no intervé gens en aquest càlcul. Quan la matriu no és diagonal, el que fas és justament buscar un canvi de base que la desacobli: això és diagonalitzar.

Pas 1 — polinomi característic. Amb traça $0$ i determinant $4$:

$\lambda^{2} - (0)\lambda + (4) = 0$

Pas 2 — autovalors. $\lambda_1 = - 2 i$ i $\lambda_2 = 2 i$.

Pas 3 — llegir-los. La regla és sempre la mateixa: la part imaginària diu si hi ha gir (sí, i llavors és focus o centre; no, i llavors és sella o node) i la part real diu si les trajectòries s'acosten a l'origen (negativa) o se n'allunyen (positiva).

Conclusió: Centre (estable, no asimptòticament).

Recorda que només hi ha estabilitat asimptòtica si totes les parts reals són estrictament negatives; que n'hi hagi alguna de negativa no és suficient.

Pas 1 — l'equació. Traça $0$, determinant $4$:

$\lambda^{2} - (0)\lambda + (4) = 0$

Pas 2 — resoldre-la. Els autovalors són $- 2 i$, $2 i$.

Pas 3 — prendre la part real més gran: $0.0000$.

Aquest número és el que governa el comportament a llarg termini: si és negatiu, totes les trajectòries tendeixen a l'origen; si és positiu, gairebé totes s'allunyen; si és zero, cal mirar els blocs de Jordan.

Pas 1 — igualar a zero.

$6x - 5x^{2} = x\left(6 - 5x\right) = 0$

Pas 2 — els dos factors. El primer dona $x = 0$ i el segon dona

$x = \frac{6}{5} \approx 1.2000$

Pas 3 — estabilitat (bonus). La derivada del camp és $6 - 10x$. A $x=0$ val $6$ i a l'altre equilibri val $-6$: com que tenen signes oposats, un és atractor i l'altre repulsor. Aquesta és l'estructura del model logístic.

Pas 1 — veure que està desacoblat. La primera equació només conté $x$ i la segona només $y$: no cal cap autovalor ni cap matriu, es resolen per separat.

Pas 2 — resoldre la primera.

$x(t) = 2e^{t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 1$.

$x(1) = 2e^{1} \approx 5.4366$

La segona component no intervé gens en aquest càlcul. Quan la matriu no és diagonal, el que fas és justament buscar un canvi de base que la desacobli: això és diagonalitzar.

Pas 1 — polinomi característic. Amb traça $-2$ i determinant $2$:

$\lambda^{2} - (-2)\lambda + (2) = 0$

Pas 2 — autovalors. $\lambda_1 = -1 - i$ i $\lambda_2 = -1 + i$.

Pas 3 — llegir-los. La regla és sempre la mateixa: la part imaginària diu si hi ha gir (sí, i llavors és focus o centre; no, i llavors és sella o node) i la part real diu si les trajectòries s'acosten a l'origen (negativa) o se n'allunyen (positiva).

Conclusió: Focus atractor (asimptòticament estable).

Recorda que només hi ha estabilitat asimptòtica si totes les parts reals són estrictament negatives; que n'hi hagi alguna de negativa no és suficient.

Pas 1 — igualar a zero.

$x - 8x^{2} = x\left(1 - 8x\right) = 0$

Pas 2 — els dos factors. El primer dona $x = 0$ i el segon dona

$x = \frac{1}{8} \approx 0.1250$

Pas 3 — estabilitat (bonus). La derivada del camp és $1 - 16x$. A $x=0$ val $1$ i a l'altre equilibri val $-1$: com que tenen signes oposats, un és atractor i l'altre repulsor. Aquesta és l'estructura del model logístic.

Pas 1 — veure que està desacoblat. La primera equació només conté $x$ i la segona només $y$: no cal cap autovalor ni cap matriu, es resolen per separat.

Pas 2 — resoldre la primera.

$x(t) = e^{2t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 1$.

$x(1) = e^{2} \approx 7.3891$

La segona component no intervé gens en aquest càlcul. Quan la matriu no és diagonal, el que fas és justament buscar un canvi de base que la desacobli: això és diagonalitzar.

Pas 1 — polinomi característic. Amb traça $4$ i determinant $-5$:

$\lambda^{2} - (4)\lambda + (-5) = 0$

Pas 2 — autovalors. $\lambda_1 = 5$ i $\lambda_2 = -1$.

Pas 3 — llegir-los. La regla és sempre la mateixa: la part imaginària diu si hi ha gir (sí, i llavors és focus o centre; no, i llavors és sella o node) i la part real diu si les trajectòries s'acosten a l'origen (negativa) o se n'allunyen (positiva).

Conclusió: Sella (inestable).

Recorda que només hi ha estabilitat asimptòtica si totes les parts reals són estrictament negatives; que n'hi hagi alguna de negativa no és suficient.