Exercicis de sistemes d'EDO i estabilitat

Pas 1 — polinomi característic. Amb traça $5$ i determinant $4$:

$\lambda^{2} - (5)\lambda + (4) = 0$

Pas 2 — autovalors. $\lambda_1 = 4$ i $\lambda_2 = 1$.

Pas 3 — llegir-los. La regla és sempre la mateixa: la part imaginària diu si hi ha gir (sí, i llavors és focus o centre; no, i llavors és sella o node) i la part real diu si les trajectòries s'acosten a l'origen (negativa) o se n'allunyen (positiva).

Conclusió: Node repulsor (inestable).

Recorda que només hi ha estabilitat asimptòtica si totes les parts reals són estrictament negatives; que n'hi hagi alguna de negativa no és suficient.

Pas 1 — l'equació. Traça $5$, determinant $4$:

$\lambda^{2} - (5)\lambda + (4) = 0$

Pas 2 — resoldre-la. Els autovalors són $4$, $1$.

Pas 3 — prendre la part real més gran: $4.0000$.

Aquest número és el que governa el comportament a llarg termini: si és negatiu, totes les trajectòries tendeixen a l'origen; si és positiu, gairebé totes s'allunyen; si és zero, cal mirar els blocs de Jordan.

Pas 1 — igualar a zero.

$7x - 2x^{2} = x\left(7 - 2x\right) = 0$

Pas 2 — els dos factors. El primer dona $x = 0$ i el segon dona

$x = \frac{7}{2} \approx 3.5000$

Pas 3 — estabilitat (bonus). La derivada del camp és $7 - 4x$. A $x=0$ val $7$ i a l'altre equilibri val $-7$: com que tenen signes oposats, un és atractor i l'altre repulsor. Aquesta és l'estructura del model logístic.

Pas 1 — veure que està desacoblat. La primera equació només conté $x$ i la segona només $y$: no cal cap autovalor ni cap matriu, es resolen per separat.

Pas 2 — resoldre la primera.

$x(t) = e^{t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 1$.

$x(1) = e^{1} \approx 2.7183$

La segona component no intervé gens en aquest càlcul. Quan la matriu no és diagonal, el que fas és justament buscar un canvi de base que la desacobli: això és diagonalitzar.

Pas 1 — polinomi característic. Amb traça $-5$ i determinant $4$:

$\lambda^{2} - (-5)\lambda + (4) = 0$

Pas 2 — autovalors. $\lambda_1 = -4$ i $\lambda_2 = -1$.

Pas 3 — llegir-los. La regla és sempre la mateixa: la part imaginària diu si hi ha gir (sí, i llavors és focus o centre; no, i llavors és sella o node) i la part real diu si les trajectòries s'acosten a l'origen (negativa) o se n'allunyen (positiva).

Conclusió: Node atractor (asimptòticament estable).

Recorda que només hi ha estabilitat asimptòtica si totes les parts reals són estrictament negatives; que n'hi hagi alguna de negativa no és suficient.

Pas 1 — l'equació. Traça $-5$, determinant $4$:

$\lambda^{2} - (-5)\lambda + (4) = 0$

Pas 2 — resoldre-la. Els autovalors són $-4$, $-1$.

Pas 3 — prendre la part real més gran: $-1.0000$.

Aquest número és el que governa el comportament a llarg termini: si és negatiu, totes les trajectòries tendeixen a l'origen; si és positiu, gairebé totes s'allunyen; si és zero, cal mirar els blocs de Jordan.

Pas 1 — igualar a zero.

$2x - 9x^{2} = x\left(2 - 9x\right) = 0$

Pas 2 — els dos factors. El primer dona $x = 0$ i el segon dona

$x = \frac{2}{9} \approx 0.2222$

Pas 3 — estabilitat (bonus). La derivada del camp és $2 - 18x$. A $x=0$ val $2$ i a l'altre equilibri val $-2$: com que tenen signes oposats, un és atractor i l'altre repulsor. Aquesta és l'estructura del model logístic.

Pas 1 — veure que està desacoblat. La primera equació només conté $x$ i la segona només $y$: no cal cap autovalor ni cap matriu, es resolen per separat.

Pas 2 — resoldre la primera.

$x(t) = 2e^{t}$

Pas 3 — avaluar a $t = 1$.

$x(1) = 2e^{1} \approx 5.4366$

La segona component no intervé gens en aquest càlcul. Quan la matriu no és diagonal, el que fas és justament buscar un canvi de base que la desacobli: això és diagonalitzar.

Pas 1 — polinomi característic. Amb traça $2$ i determinant $-8$:

$\lambda^{2} - (2)\lambda + (-8) = 0$

Pas 2 — autovalors. $\lambda_1 = 4$ i $\lambda_2 = -2$.

Pas 3 — llegir-los. La regla és sempre la mateixa: la part imaginària diu si hi ha gir (sí, i llavors és focus o centre; no, i llavors és sella o node) i la part real diu si les trajectòries s'acosten a l'origen (negativa) o se n'allunyen (positiva).

Conclusió: Sella (inestable).

Recorda que només hi ha estabilitat asimptòtica si totes les parts reals són estrictament negatives; que n'hi hagi alguna de negativa no és suficient.

Pas 1 — l'equació. Traça $2$, determinant $-8$:

$\lambda^{2} - (2)\lambda + (-8) = 0$

Pas 2 — resoldre-la. Els autovalors són $4$, $-2$.

Pas 3 — prendre la part real més gran: $4.0000$.

Aquest número és el que governa el comportament a llarg termini: si és negatiu, totes les trajectòries tendeixen a l'origen; si és positiu, gairebé totes s'allunyen; si és zero, cal mirar els blocs de Jordan.