Exercicis d'EDO de primer ordre

Una solució constant $y(x) = y_*$ té derivada zero, o sigui que ha de complir $(y-5)^{2} = 0$.

Resolent, l'únic zero és $y=5$, encara que sigui doble.

Per tant la resposta és només 5.

Aquests equilibris són importants per dues raons: són solucions que el mètode de separació de variables perd (perquè divideixes per aquest factor) i són els valors cap als quals tendeixen les altres solucions.

Mirem-ho amb el guió de sempre.

L'equació $y' = y^{2} + x$ és Cap de les anteriors perquè ni es separa, ni és lineal, ni té l'estructura de Bernoulli o homogènia.

Aquesta pregunta és la meitat de l'exercici en un examen: triar malament el mètode et fa perdre tot el temps encara que després integris perfectament. Abans d'escriure res, classifica.

Pas 1 — separar. L'equació $y' = -2y$ té la $y$ com a factor, o sigui que es pot separar:

$\frac{dy}{y} = -2\,dx$

Pas 2 — integrar els dos costats.

$\ln|y| = -2x + C \quad\Longrightarrow\quad y = A e^{-2x}$

on $A = \pm e^{C}$ és simplement una constant qualsevol.

Pas 3 — usar la condició inicial. A $x = 0$ l'exponencial val $1$, o sigui que $y(0) = A = 3$.

$y(x) = 3 e^{- 2 x}$

Comprovació. Deriva: $y' = -2\cdot 3e^{-2x} = -2y$. Correcte.

Pas 1 — factor integrant. Amb $p(x) = 1$, el factor és $\mu = e^{x}$. Es tria justament perquè $\mu' = \mu$, i així el costat esquerre es converteix en la derivada d'un producte.

Pas 2 — multiplicar i integrar.

$(e^{x}y)' = 6e^{x} \quad\Longrightarrow\quad e^{x}y = 6e^{x} + C$

Pas 3 — aïllar. Dividint per $e^{x}$:

$y = 6 + Ce^{-x}$

Pas 4 — condició inicial. A $x = 0$: $6 + C = 1$, o sigui $C = -5$.

$y(x) = 6 - 5 e^{- x}$

Fixa't que quan $x$ creix la solució s'acosta a $6$: és l'equilibri de l'equació, el valor que fa $y' = 0$.

Pas 1 — separar i integrar.

$\frac{dy}{y} = - x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = - \frac{x^{2}}{2} + C$

Pas 2 — exponenciar.

$y = A\,e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Pas 3 — condició inicial. A $x = 0$ l'exponent val $0$ i l'exponencial val $1$, o sigui $A = 2$.

$y(x) = 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Compte: aquí l'exponent no és $- x$ sinó la seva primitiva. Aquest és l'error que es repeteix més en aquest tipus d'exercici.

Pas 1 — el canvi. Amb exponent $\alpha = 2$, el canvi és $v = y^{1-2} = 1/y$.

Pas 2 — transformar. Divideix tota l'equació per $y^{2}$:

$\frac{y'}{y^{2}} + 2\frac{1}{y} = 1$

Com que $v' = -y'/y^{2}$, això és $-v' + 2v = 1$, és a dir

$v' - 2v = -1.$

Pas 3 — resoldre la lineal. Factor integrant $e^{-2x}$, i surt $v = \frac{1}{2} + Ke^{2x}$.

Pas 4 — condició inicial. $v(0) = 1/y(0) = \frac{1}{2}$, o sigui $K = 0$.

Pas 5 — desfer el canvi. Com que $y = 1/v$,

$y(x) = 2$

Recorda que $y = 0$ també és solució de l'equació original, encara que el canvi no la pugui veure.

Una solució constant $y(x) = y_*$ té derivada zero, o sigui que ha de complir $y^{3}-y = 0$.

Resolent, factoritzant, $y(y-1)(y+1)$.

Per tant la resposta és 0, 1 i −1.

Aquests equilibris són importants per dues raons: són solucions que el mètode de separació de variables perd (perquè divideixes per aquest factor) i són els valors cap als quals tendeixen les altres solucions.

Mirem-ho amb el guió de sempre.

L'equació $y' = \dfrac{y}{x} + \left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}$ és Homogènia en $y/x$ perquè tot el segon membre depèn només de $y/x$.

Aquesta pregunta és la meitat de l'exercici en un examen: triar malament el mètode et fa perdre tot el temps encara que després integris perfectament. Abans d'escriure res, classifica.

Pas 1 — separar. L'equació $y' = -2y$ té la $y$ com a factor, o sigui que es pot separar:

$\frac{dy}{y} = -2\,dx$

Pas 2 — integrar els dos costats.

$\ln|y| = -2x + C \quad\Longrightarrow\quad y = A e^{-2x}$

on $A = \pm e^{C}$ és simplement una constant qualsevol.

Pas 3 — usar la condició inicial. A $x = 0$ l'exponencial val $1$, o sigui que $y(0) = A = 4$.

$y(x) = 4 e^{- 2 x}$

Comprovació. Deriva: $y' = -2\cdot 4e^{-2x} = -2y$. Correcte.

Pas 1 — factor integrant. Amb $p(x) = 1$, el factor és $\mu = e^{x}$. Es tria justament perquè $\mu' = \mu$, i així el costat esquerre es converteix en la derivada d'un producte.

Pas 2 — multiplicar i integrar.

$(e^{x}y)' = 6e^{x} \quad\Longrightarrow\quad e^{x}y = 6e^{x} + C$

Pas 3 — aïllar. Dividint per $e^{x}$:

$y = 6 + Ce^{-x}$

Pas 4 — condició inicial. A $x = 0$: $6 + C = 5$, o sigui $C = -1$.

$y(x) = 6 - e^{- x}$

Fixa't que quan $x$ creix la solució s'acosta a $6$: és l'equilibri de l'equació, el valor que fa $y' = 0$.