Exercicis d'EDO de primer ordre

Pas 1 — separar i integrar.

$\frac{dy}{y} = 2 x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = x^{2} + C$

Pas 2 — exponenciar.

$y = A\,e^{x^{2}}$

Pas 3 — condició inicial. A $x = 0$ l'exponent val $0$ i l'exponencial val $1$, o sigui $A = 1$.

$y(x) = e^{x^{2}}$

Compte: aquí l'exponent no és $2 x$ sinó la seva primitiva. Aquest és l'error que es repeteix més en aquest tipus d'exercici.

Pas 1 — el canvi. Amb exponent $\alpha = 2$, el canvi és $v = y^{1-2} = 1/y$.

Pas 2 — transformar. Divideix tota l'equació per $y^{2}$:

$\frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} = 2$

Com que $v' = -y'/y^{2}$, això és $-v' + v = 2$, és a dir

$v' - v = -2.$

Pas 3 — resoldre la lineal. Factor integrant $e^{-x}$, i surt $v = 2 + Ke^{x}$.

Pas 4 — condició inicial. $v(0) = 1/y(0) = \frac{1}{2}$, o sigui $K = - \frac{3}{2}$.

Pas 5 — desfer el canvi. Com que $y = 1/v$,

$y(x) = \frac{1}{2 - \frac{3 e^{x}}{2}}$

Recorda que $y = 0$ també és solució de l'equació original, encara que el canvi no la pugui veure.

Una solució constant $y(x) = y_*$ té derivada zero, o sigui que ha de complir $\sin y = 0$.

Resolent, el sinus s'anul·la a tots els múltiples enters de $\pi$.

Per tant la resposta és tots els múltiples de $\pi$.

Aquests equilibris són importants per dues raons: són solucions que el mètode de separació de variables perd (perquè divideixes per aquest factor) i són els valors cap als quals tendeixen les altres solucions.

Mirem-ho amb el guió de sempre.

L'equació $y' = \dfrac{x+y}{x}$ és Homogènia en $y/x$ perquè tot depèn del quocient entre les dues variables.

Aquesta pregunta és la meitat de l'exercici en un examen: triar malament el mètode et fa perdre tot el temps encara que després integris perfectament. Abans d'escriure res, classifica.

Pas 1 — separar. L'equació $y' = -3y$ té la $y$ com a factor, o sigui que es pot separar:

$\frac{dy}{y} = -3\,dx$

Pas 2 — integrar els dos costats.

$\ln|y| = -3x + C \quad\Longrightarrow\quad y = A e^{-3x}$

on $A = \pm e^{C}$ és simplement una constant qualsevol.

Pas 3 — usar la condició inicial. A $x = 0$ l'exponencial val $1$, o sigui que $y(0) = A = 5$.

$y(x) = 5 e^{- 3 x}$

Comprovació. Deriva: $y' = -3\cdot 5e^{-3x} = -3y$. Correcte.

Pas 1 — factor integrant. Amb $p(x) = 1$, el factor és $\mu = e^{x}$. Es tria justament perquè $\mu' = \mu$, i així el costat esquerre es converteix en la derivada d'un producte.

Pas 2 — multiplicar i integrar.

$(e^{x}y)' = 4e^{x} \quad\Longrightarrow\quad e^{x}y = 4e^{x} + C$

Pas 3 — aïllar. Dividint per $e^{x}$:

$y = 4 + Ce^{-x}$

Pas 4 — condició inicial. A $x = 0$: $4 + C = 1$, o sigui $C = -3$.

$y(x) = 4 - 3 e^{- x}$

Fixa't que quan $x$ creix la solució s'acosta a $4$: és l'equilibri de l'equació, el valor que fa $y' = 0$.

Pas 1 — separar i integrar.

$\frac{dy}{y} = 2 x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = x^{2} + C$

Pas 2 — exponenciar.

$y = A\,e^{x^{2}}$

Pas 3 — condició inicial. A $x = 0$ l'exponent val $0$ i l'exponencial val $1$, o sigui $A = 2$.

$y(x) = 2 e^{x^{2}}$

Compte: aquí l'exponent no és $2 x$ sinó la seva primitiva. Aquest és l'error que es repeteix més en aquest tipus d'exercici.

Pas 1 — el canvi. Amb exponent $\alpha = 2$, el canvi és $v = y^{1-2} = 1/y$.

Pas 2 — transformar. Divideix tota l'equació per $y^{2}$:

$\frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} = 3$

Com que $v' = -y'/y^{2}$, això és $-v' + v = 3$, és a dir

$v' - v = -3.$

Pas 3 — resoldre la lineal. Factor integrant $e^{-x}$, i surt $v = 3 + Ke^{x}$.

Pas 4 — condició inicial. $v(0) = 1/y(0) = 1$, o sigui $K = -2$.

Pas 5 — desfer el canvi. Com que $y = 1/v$,

$y(x) = \frac{1}{3 - 2 e^{x}}$

Recorda que $y = 0$ també és solució de l'equació original, encara que el canvi no la pugui veure.

Una solució constant $y(x) = y_*$ té derivada zero, o sigui que ha de complir $y^{2}+1 = 0$.

Resolent, la suma d'un quadrat i $1$ no s'anul·la mai en els reals.

Per tant la resposta és cap.

Aquests equilibris són importants per dues raons: són solucions que el mètode de separació de variables perd (perquè divideixes per aquest factor) i són els valors cap als quals tendeixen les altres solucions.

Mirem-ho amb el guió de sempre.

L'equació $y' = e^{x}\,\cos y$ és Separable perquè és un producte d'una funció de $x$ per una funció de $y$.

Aquesta pregunta és la meitat de l'exercici en un examen: triar malament el mètode et fa perdre tot el temps encara que després integris perfectament. Abans d'escriure res, classifica.